Question

[Ngô Thanh Vân]

 Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp (O; R), các đường cao BD, CE cắt nhau tạiH. AH cắt BC, DE lần lượt tại F và K.

a) Chứng minh rằng tứ giác ADHE nội tiếp đường tròn, xác định tâm I của đường tròn này.

b) Vẽ tia Cx là tiếp tuyến của (O) (tia Cx nằm trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểmA). Chứng minh rằng tứ giác ADFB nội tiếp đường tròn và Cx // DF.

c) Chứng minh rằng DH là tia phân giác của góc EDF và AF.HK = AK.HF.

d) Chứng minh tam giác FBK đồng dạng tam giác FIC rồi suy ra K là trực tâm tam giác BIC

*Sửa giúp em câu c & d ạ

Answer 1

[Nguyễn Đoàn Nhật Minh]

d)
Trên BF lấy điểm G sao cho GK //AB
=>KG⊥⊥CE (1) và BGBF=AKAFBGBF=AKAF (2)
theo câu c), DH là phân giác trong ˆKDFKDF^ (3)
=>HKHF=DKDFHKHF=DKDF (4)
có DA⊥⊥DH (5)
từ (3, 5) =>DA là phân giác ngoài ˆKDFKDF^
=>AKAF=DKDFAKAF=DKDF (6)
từ (2, 4, 6) =>BGBF=HKHFBGBF=HKHF (7)
trên tia đối tia BC lấy điểm J sao cho BJ =BG
=>BJBF=BGBFBJBF=BGBF (8)
từ (7, 8) =>BJBF=HKHFBJBF=HKHF
=>JK // BH
=>JK⊥⊥AC (8)
từ (1, 8) =>ˆJKG=ˆACHJKG^=ACH^ (9)
và có JF⊥⊥AH và (1)=>ˆKGJ=ˆCHAKGJ^=CHA^ (10)
từ (9, 10) =>△KGJ∼△CHA△KGJ∼△CHA (g, g)
=>KGCH=GJHA=2.GB2.HI=GBHIKGCH=GJHA=2.GB2.HI=GBHI (11)
từ (10, 11) =>△KGB∼△CHI△KGB∼△CHI (c, g, c)
=>ˆKBF=ˆCIFKBF^=CIF^
=>△FBK∼△FIC△FBK∼△FIC (đpcm)
và ˆICB+ˆFBKICB^+FBK^
=ˆBKF+ˆFBK=90∘=BKF^+FBK^=90∘
=>BK⊥CIBK⊥CI =>K là trực tâm của tam giác IBC (đpcm)

Hình gửi kèm

• 

•