Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Câu a)
Ta sử dụng 2 công thức:
\(\bullet \tan (180-\alpha)=-\tan \alpha\)
\(\bullet \tan (\alpha+\beta)=\frac{\tan \alpha+\tan \beta}{1-\tan \alpha.\tan \beta}\)
Áp dụng vào bài toán:
\(\text{VT}=\tan A+\tan B+\tan C=\tan A+\tan B+\tan (180-A-B)\)
\(=\tan A+\tan B-\tan (A+B)=\tan A+\tan B-\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A.\tan B}\)
\(=(\tan A+\tan B)\left(1+\frac{1}{1-\tan A.\tan B}\right)=(\tan A+\tan B).\frac{-\tan A.\tan B}{1-\tan A.\tan B}\)
\(=-\tan A.\tan B.\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A.\tan B}=-\tan A.\tan B.\tan (A+B)\)
\(=\tan A.\tan B.\tan (180-A-B)\)
\(=\tan A.\tan B.\tan C=\text{VP}\)
Do đó ta có đpcm
Tam giác $ABC$ có ba góc nhọn nên \(\tan A, \tan B, \tan C>0\)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
\(P=\tan A+\tan B+\tan C\geq 3\sqrt[3]{\tan A.\tan B.\tan C}\)
\(\Leftrightarrow P=\tan A+\tan B+\tan C\geq 3\sqrt[3]{\tan A+\tan B+\tan C}\)
\(\Rightarrow P\geq 3\sqrt[3]{P}\)
\(\Rightarrow P^3\geq 27P\Leftrightarrow P(P^2-27)\geq 0\)
\(\Rightarrow P^2-27\geq 0\Rightarrow P\geq 3\sqrt{3}\)
Vậy \(P_{\min}=3\sqrt{3}\). Dấu bằng xảy ra khi \(\angle A=\angle B=\angle C=60^0\)
Câu b)
Ta sử dụng 2 công thức chính:
\(\bullet \tan (\alpha+\beta)=\frac{\tan \alpha+\tan \beta}{1-\tan \alpha.\tan \beta}\)
\(\bullet \tan (90-\alpha)=\frac{1}{\tan \alpha}\)
Áp dụng vào bài toán:
\(\text{VT}=\tan \frac{A}{2}.\tan \frac{B}{2}+\tan \frac{B}{2}.\tan \frac{C}{2}+\tan \frac{C}{2}.\tan \frac{A}{2}\)
\(=\tan \frac{A}{2}.\tan \frac{B}{2}+\tan \frac{C}{2}(\tan \frac{A}{2}+\tan \frac{B}{2})\)
\(=\tan \frac{A}{2}.\tan \frac{B}{2}+\tan (90-\frac{A+B}{2})(\tan \frac{A}{2}+\tan \frac{B}{2})\)
\(=\tan \frac{A}{2}.\tan \frac{B}{2}+\frac{\tan \frac{A}{2}+\tan \frac{B}{2}}{\tan (\frac{A+B}{2})}\)
\(=\tan \frac{A}{2}.\tan \frac{B}{2}+\frac{\tan \frac{A}{2}+\tan \frac{B}{2}}{\frac{\tan \frac{A}{2}+\tan \frac{B}{2}}{1-\tan \frac{A}{2}.\tan \frac{B}{2}}}\)
\(=\tan \frac{A}{2}.\tan \frac{B}{2}+1-\tan \frac{A}{2}.\tan \frac{B}{2}=1=\text{VP}\)
Ta có đpcm.
Cũng giống phần a, ta biết do ABC là tam giác nhọn nên
\(\tan A, \tan B, \tan C>0\)
Đặt \(\tan A=x, \tan B=y, \tan C=z\). Ta có: \(xy+yz+xz=1\)
Và \(T=x+y+z\)
\(\Rightarrow T^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)\)
Theo hệ quả quen thuộc của BĐT Cauchy:
\(x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+xz\)
\(\Rightarrow T^2\geq 3(xy+yz+xz)=3\)
\(\Rightarrow T\geq \sqrt{3}\Leftrightarrow T_{\min}=\sqrt{3}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow \angle A=\angle B=\angle C=60^0\)
\(x^2-5x+1=m-2\sqrt{6+5x-x^2}\) (đk: \(x\in\left[-1;6\right]\))
\(\Leftrightarrow7-\left(6+5x-x^2\right)=m-2\sqrt{6+5x-x^2}\)
\(Đặt \) \(a=\sqrt{6+5x-x^2}\left(a\ge0\right)\)
(bình phương cái vừa đặt lên, tìm được \(\Delta_x=49-4a^2\) nên với mỗi \(a\in\left[0;\dfrac{7}{2}\right]\backslash\left\{\dfrac{7}{2}\right\}\) sẽ có 2 nghiệm x phân biệt)
pttt: \(7-a^2=m-2a\)
\(\Leftrightarrow a^2-2a-7=-m\) (*)
BBT \(f\left(x\right)=a^2-2a-7\) với \(a\in\left[0;\dfrac{7}{2}\right]\backslash\left\{\dfrac{7}{2}\right\}\)
nên để pt ban đầu có 2 nghiệm x phân biệt <=>pt (*) có 1 nghiệm <=> \(\left[{}\begin{matrix}-m=-8\\-7< -m< \dfrac{7}{4}\end{matrix}\right.\) hay \(\left[{}\begin{matrix}m=8\\\dfrac{7}{4}< m< 7\end{matrix}\right.\)
Ý A
\(f\left(a\right)=a^2-2a-7\) chứ không phải f(x) đâu nha
Lời giải:
Viết lại đt $(d_1)$:
$x+2y=m+1-6t+6t$
$\Leftrightarrow x+2y=m+1$
Ta thấy $M(-2,2)\in (d_2)$. Nếu $(d_2)\equiv (d_1)$ thì:
$M(-2,2)\in (d_1)$
$\Leftrightarrow -2+2.2=m+1$
$\Leftrightarrow m=1$
Thay giá trị $m$ vừa tìm được vào 2 ptđt ban đầu thì:
$(d_1)$: $x+2y=2$
$(d_2)$: \(\left\{\begin{matrix} x=-2-2t\\ y=2+t\end{matrix}\right.\)
$\Rightarrow x+2y=-2-2t+2(2+t)=2$ (trùng với $(d_1)$)
Vậy $m=1$
a: \(x\in\left(-1;2\right)\)
b: \(x\in[8;10)\cup\left[25;30\right]\)
c: \(x\in\left(-\infty;-5\right)\cup[7;+\infty)\)
a) Xét \(a=0\) . Thay vào hệ phương trình ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}3x=5\\2x+y=b\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{5}{3}\\y=b-2x\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{5}{3}\\y=b-\dfrac{10}{3}\end{matrix}\right.\).
Vậy khi \(a=0\) và mỗi giá trị \(b\in R\) hệ có duy nhất nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{5}{3}\\y=b-\dfrac{10}{3}\end{matrix}\right.\).
Vậy \(a\ne0\). Khi đó hệ có vô số nghiệm khi và chỉ khi:
\(\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{a}=\dfrac{b}{5}\).
\(\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{a}\)\(\Leftrightarrow a=\dfrac{3}{2}\); \(\dfrac{2}{3}=\dfrac{b}{5}\)\(\Leftrightarrow b=\dfrac{10}{3}\).
Vậy \(\left(a;b\right)=\left(\dfrac{3}{2};\dfrac{10}{3}\right)\) thì hệ có vô số nghiệm.
b) Xét a = 0. Thay vào hệ phương trình ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}2y=0\\3x-4y=b+1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=0\\x=\dfrac{b+1+4y}{3}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=0\\x=\dfrac{b+1}{3}\end{matrix}\right.\).
Vậy khi a = 0 và với mỗi \(b\in R\) hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: \(\left\{{}\begin{matrix}y=0\\x=\dfrac{b+1}{3}\end{matrix}\right.\).
Vậy \(a\ne0\). Khi đó hệ có vô số nghiệm khi:\(\dfrac{3}{a}=\dfrac{-4}{2}=\dfrac{b+1}{a}\).
\(\dfrac{3}{a}=\dfrac{-4}{2}\)\(\Rightarrow a=\dfrac{-3}{2}\); \(\dfrac{-4}{2}=\dfrac{b+1}{a}\)\(\Rightarrow b=-2a-1\)\(\Leftrightarrow b=2\).
Vậy \(\left(a;b\right)=\left(\dfrac{-3}{2};2\right)\) hệ có vô số nghiệm.
a) Hệ phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi:\(\dfrac{m}{3}=\dfrac{-2}{2}\ne\dfrac{2}{9}\)
Xét \(\dfrac{m}{3}=\dfrac{-2}{2}\Leftrightarrow m=-3\) .
Dễ thấy \(m=-3\) thỏa mãn: \(\dfrac{-3}{3}=\dfrac{-2}{2}\ne\dfrac{2}{9}\)
Vậy \(m=-3\) hệ vô nghiệm.
b) Hệ phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi:\(\dfrac{2}{1}=\dfrac{-m}{1}\ne\dfrac{5}{7}\)
Xét: \(\dfrac{2}{1}=\dfrac{-m}{1}\Leftrightarrow m=-2\)
Do \(\dfrac{2}{1}=\dfrac{-\left(-2\right)}{1}\ne\dfrac{5}{7}\) thỏa mãn nên m = - 2 hệ phương trình vô nghiệm.
a) \(x\in S=(-\infty;-5]\cup[7;+\infty)\)
b) \(x\in S=\left(-1;2\right)\cup(5;10]\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x^2-3x-4< 0\\\left(m-1\right)x-2>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x+1\right)\left(x-4\right)< 0\\\left(m-1\right)x-2>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1< x< 4\\\left(m-1\right)x-2>0\end{matrix}\right.\left(1\right)\)
TH1: \(m< 1\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1< x< 4\\x< \dfrac{2}{m-1}\end{matrix}\right.\)
Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \(\dfrac{2}{m-1}>-1\Leftrightarrow2< -m+1\Leftrightarrow m< -1\)
\(\Rightarrow m< -1\)
TH2: \(m=1\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1< x< 4\\-2>0\end{matrix}\right.\left(vn\right)\)
TH3: \(m>1\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1< x< 4\\x>\dfrac{2}{m-1}\end{matrix}\right.\)
\(\dfrac{2}{m-1}< 4\Leftrightarrow4m-4>2\Leftrightarrow m>\dfrac{3}{2}\)
\(\Rightarrow m>\dfrac{3}{2}\)
Vậy \(m< -1;m>\dfrac{3}{2}\)
1: \(x\in\left(1;5\right)\cup\left(-\infty;-2\right)\)
2: x>1
4: \(x\in\left(-2;+\infty\right)\)