Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
x^3+y^3+z^3=3xyz
<=>x^3+y^3+z^3-3xyz=0
<=>(x+y+z).(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)=0
<=>x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=0 (vì x,y,z > 0 nên x+y+z > 0)
<=>2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx=0
<=>(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=0
<=>x-y=0;y-z=0;z-x=0
<=>x=y=z (ĐPCM)
k mk nha
Ta có \(x^3+y^3+z^3=3xyz\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3+z^3-3xy\left(x+y\right)-3xyz=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2+2xy-xz-yz\right)-3xy\left(x+y+z\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left[\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2zx+x^2\right)\right]=0\)(Nhân hai vế với 2)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\right]=0\)
Tới đây bạn xét hai trường hợp nhé :)
(x+y+z)((X+Y)^2-Z(X+Y))-3XY(X+Y+Z)
=(X+Y+Z)(X^2+2XY+Y^2-XZ-YZ-3XY)
=(X+Y+Z)(X^2+Y^2+Z^2-XZ-YZ-XY)
a) \(2\left(x-y\right)\left(x+y\right)+\left(x+y\right)^2+\left(x-y\right)^2\)
\(=2\left(x-y\right)\left(x+y\right)+\left(x+y+x-y\right)^2-2\left(x+y\right)\left(x-y\right)\)
\(=\left(2x\right)^2=4x^2\)
b) \(\left(x-y+z\right)^2+\left(z-y\right)^2+2\left(x-y+z\right)\left(y-z\right)\)
\(=\left(x-y+z\right)^2+\left(y-z\right)^2+2\left(x-y+z\right)\left(y-z\right)\)
\(=\left(x-y+z+y-z\right)^2-2\left(x-y+z\right)\left(y-z\right)+2\left(x-y+z\right)\left(y-z\right)\)
\(=x^2\)
ta có:x+y+z=0
=>x,y,z là 3 số hạng giống nhau, 0^ bao nhiêu cũng bằng 0
Do đó, x^3+y^3+z^3=3xyz
Thật ra e ms lp 6 thui nên nghĩ sao nói vậy dù sao thì cũng có cái ý, đáp án cuối cùng là đúng, chỉ có trường hợp xảy ra là trình bày bài k chặt chẽ, nên là có lẽ người đưa ra bài toán này fai tìm cách giải chặt chẽ hơn, ok, nhưng nhớ là cũng k cho e đó
Vì x,y,z là cái số dương nên x,y,z >0
mà x+y+z=3 (=) x=1,y=1,z=1 ( vì x,y,z >0)
\(\Rightarrow x^4+y^4+z^4-3xyz=0\)
\(\Rightarrow x^3+y^3=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^3+z^3-3xy\left(x+y\right)-3xyz\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)\left(\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)z+z^2\right)-3xy\left(x+y\right)-3xyz=0\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)\left(\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)z+z^2-3xy\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)\left(x^2+2xy+y^2-xz-yz+z^2-3xy\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz\right)=0\)
\(\Rightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2xz-2yz=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x-z\right)^2+\left(y-z\right)^2=0\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-y=0\\x-z=0\\y-z-0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=y\\x=z\\y=z\end{cases}\Rightarrow}x=y=z=1}\)
(*) \(x^3-y^3-z^3=3xyz\)\(\Leftrightarrow x^3-3xyz=\left(y+z\right)\left[\left(y+z\right)^2-3yz\right]\)
Thay \(y+z=\frac{1}{2}x^2\)(*) \(\Leftrightarrow x^3-3xyz=\frac{x^2}{2}\left(\frac{x^4}{4}-3yz\right)\)\(\Leftrightarrow\frac{x^6}{8}-x^3-\frac{3}{2}x^2yz+3xyz=0\)
\(\Leftrightarrow x^6-8x^3-12x^2yz+24xyz=0\)
\(\Leftrightarrow x^3\left(x^3-8\right)-12x\left(x-2\right)yz=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(x-2\right)\left(x^4-12yz+2x^3+4x^2\right)=0\)
Với mọi \(y>0;z>0\)thì \(\left(y+z\right)^2\ge4yz\)thay \(x^2=2\left(y+z\right)\)\(\Rightarrow x^4\ge16yz\ge12yz\Rightarrow x^4-12yz\ge0\)
Với mọi x>0 thì \(x^4-12yz+2x^3+4x^2>0\)
Nên (*) \(\Leftrightarrow x\left(x-2\right)=0\)vì \(x>0\)nên \(x=2\)
Thay vào \(x^2=2\left(y+z\right)\)ta được \(y+z=2\)vì y;z nguyên dương nên \(y=1;z=1\)
Thay \(x=2;y=1;z=1\)ta thấy TMĐK đề bài nên nó là nghiệm duy nhất của bài toán.
Giúp mk zới các bn đẹp trai/xinh gái ơi mk cần gấp lắm huhu
Không mất tính tổng quát , giả sử : 0 < x < y < z
\(\Rightarrow x+y+z< z+z+z\)
\(\Rightarrow3xyz< 3z\)
\(\Rightarrow xy< 1\)( vô lí vì do x ; y nguyên dương và khác nhau nên xy > 1 )
Vậy không tồn tại 3 số x , y , z nguyên dương đã cho .