Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(=a^2x^2+a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2y^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2+c^2z^2\)
\(\left(ax+by+cz\right)^2\)
\(=c^2z^2+2bcyz+2acxz+b^2y^2+2abxy+a^2x^2\)
\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)\(\ge\left(ax+by+cz\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2x^2+a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2y^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2+c^2z^2\)
\(\ge c^2z^2+2bcyz+2acxz+b^2y^2+2abxy+a^2x^2\)
\(\Leftrightarrow a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2\)
\(\ge2bcyz+2acxz+2abxy\)
\(\Leftrightarrow a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2\)\(-2bcyz-2acxz-2abxy\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2y^2-2abxy+b^2x^2\right)+\left(a^2z^2-2acxz+c^2x^2\right)\)
\(+\left(b^2z^2-2bcyz+c^2y^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2+\left(az-cx\right)^2+\left(bz-cy\right)^2\ge0\)
(Điều trên đúng vì \(\hept{\begin{cases}\left(ay-bx\right)^2\ge0\\\left(az-cx\right)^2\ge0\\\left(bz-cy\right)^2\ge0\end{cases}}\))
Vậy\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\) \(\ge\left(ax+by+cz\right)^2\)
Nó là bđt bunyakovsky luôn rồi mà bạn,lên google sẽ có cách chứng minh
Đáng lẽ là bé hơn hoặc bằng
(ax + by)2 = a2x2 + 2axby + b2y2
(a2 + b2)(x2 + y2) = a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2
Ta cần chứng minh:
\(2axby\le b^2x^2+a^2y^2\)'
\(\Leftrightarrow0\le b^2x^2-2aybx+a^2y^2\)
<=> 0 \(\le\)(bx - ay)2 (đúng)
Vậy bđt đc chứng minh
Ta có:
\(\left(ay-bx\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow a^2y^2+b^2x^2-2aybx\ge0\)
\(\Rightarrow a^2y^2+b^2x^2\ge2aybx\)
\(\Rightarrow a^2y^2+b^2x^2+a^2x^2+b^2y^2\ge2aybx+a^2x^2+b^2y^2\)
\(\Rightarrow\left(a^2x^2+a^2y^2\right)+\left(b^2y^2+b^2x^2\right)\ge\left(ax+by\right)^2\)
\(\Rightarrow a^2\left(x^2+y^2\right)+b^2\left(y^2+x^2\right)\ge\left(ax+by\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(x^2+y^2\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(ax+by\right)^2\)
\(\rightarrowđpcm\)
Lên gg gõ: bđt bunhiacopxki nhé bạn. Chứng minh theo cách đưa về bp.
a/ \(\Leftrightarrow a^2-2a+1+b^2-2b+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=1\)
b/ \(\Leftrightarrow a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2\ge a^2x^2+b^2y^2+2axby\)
\(\Leftrightarrow a^2y^2-2ay.bx+b^2x^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(ay=bx\)
Ta có:\(\left(ay-bx\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2y^2-2axby+b^2x^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2y^2+b^2x^2\ge2abxy\)
\(\Leftrightarrow a^2x^2+a^2y^2+b^2y^2+b^2x^2\ge a^2x^2+2abxy+b^2y^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right).\left(x^2+y^2\right)\ge\left(ax+by\right)^2\)
Vậy...
Lời giải :
\(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(ax+by\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2\ge a^2x^2+2abxy+b^2y^2\)
\(\Leftrightarrow a^2y^2-2abxy+b^2x^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2\ge0\)( luôn đúng )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\)