Question

[Pham Trong Bach]

Khoảng cách nhỏ nhất giữa hai điểm bất kỳ thuộc hai nhánh của đồ thị hàm số y = x − 1 x + 1  là

A. 4

B. 2 2

C. 2

D.   4 2

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Đáp án A

Điều kiện: x ≠ − 1 .

Ta có  y = x − 1 x + 1 = 1 − 2 x + 1

Gọi A x 1 ; 1 − 2 x 1 + 1 ; B x 2 ; 1 − 2 x 2 + 1 là các điểm thuộc đồ thị hàm số. Suy ra A B 2 = x 1 − x 2 2 + 2 x 2 + 1 − 2 x 1 + 1 2

Giả sử A thuộc nhánh trái và B thuộc nhánh phải, khi đó  x 1 < − 1 < x 2 ⇔ − 1 − x 1 < 0 x 2 + 1 > 0

Đặt  t 1 = − 1 − x 1 ⇒ t 1 > 0 t 2 = x 2 + 1 ⇒ t 2 > 0 ⇔ x 1 = − 1 − t 1 x 2 = t 2 − 1 ⇔ x 1 − x 2 = − t 1 − t 2 .

A B 2 = x 1 − x 2 2 + 2 x 2 + 1 − 2 x 1 + 1 2 = t 1 + t 2 2 + 2 t 2 + 2 t 1 2 = t 1 2 + 2 t 1 t 2 + t 2 2 + 4 t 1 2 + 8 t 1 t 3 + 4 t 2 2 = t 1 2 + 4 t 1 2 + t 2 2 + 4 t 2 2 + 2 t 1 t 2 + 8 t 1 t 2 .

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có t 1 2 + 4 t 1 2 ≥ 2 t 1 2 . 4 t 1 2 = 4 t 2 2 + 4 t 2 2 ≥ 2 t 2 2 . 4 t 2 2 = 4 2 t 1 t 2 + 8 t 1 t 2 ≥ 2 2 t 1 t 2 . 8 t 1 t 2 = 8. .

Vậy  A B 2 ≥ 4 + 4 + 8 = 16 ⇒ A B ≥ 4