Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Nếu x+y+z=1 sẽ đúng hơn
Với x,y là số dương bạn dễ dàng chứng minh: (x+y)2 \(\ge\) 4xy
Tương tự vậy, ta có : (x+y+z)2 =[(x+y)+z]2 \(\ge\) 4(x+y)z
\(\Rightarrow\) 1 \(\ge\) 4(x+y)z (x+y+z=1)
\(\Rightarrow\) x+y \(\ge\) 4(x+y)2 z
Mà (x+y)2 \(\ge\) 4xy (cmt)
\(\Rightarrow\) x+y \(\ge\) 4.4xyz \(\ge\) 16xyz
Dấu "=" xảy ra khi x+y+z=1 , x+y=z và x=y
\(\Leftrightarrow\) x+y = z = \(\frac{1}{2}\) và x=y
\(\Leftrightarrow\) x=y=\(\frac{1}{4}\) và z=\(\frac{1}{2}\)
Ta có:
\(\left(x+y\right)=\left(x+y+z\right)^2\left(x+y\right)\)
\(\ge4\left(x+y\right)^2z\ge16xyz\)
Dấu = xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=y=\frac{1}{4}\\z=\frac{1}{2}\end{cases}}\)
2/ \(3\sqrt[3]{\left(x+y\right)^4\left(y+z\right)^4\left(z+x\right)^4}=3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\sqrt[3]{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)
\(\ge6\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\sqrt[3]{xyz}\)
\(\ge6.\frac{8}{9}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\sqrt[3]{xyz}\)
\(\ge\frac{16}{3}\left(x+y+z\right)3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\sqrt[3]{xyz}=16xyz\left(x+y+z\right)\)
3/ \(\hept{\begin{cases}\sqrt{xy}+\sqrt{1-x}\le\sqrt{x}\\2\sqrt{xy-x}+\sqrt{x}=1\end{cases}}\)
Dễ thấy
\(\hept{\begin{cases}0\le x\le1\\y\ge1\end{cases}}\)
Từ phương trình đầu ta có:
\(\sqrt{x}-\sqrt{xy}\ge\sqrt{1-x}\ge0\)
\(\Leftrightarrow y\le1\)
Vậy \(x=y=1\)
\(\text{Σ}\sqrt{\frac{xy}{xy+z}}=\text{Σ}\sqrt{\frac{xy}{xy\left(x+y+z\right)}}=\text{Σ}\sqrt{\frac{xy}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)
\(\le\text{Σ}\left(\frac{\frac{x}{x+y}+\frac{y}{x+z}}{2}\right)=\frac{3}{2}\)
Dấu = xảy ra khi x=y=z=1/3
b, có thể dùng bunhiacopxki nếu bn k bt bunhiacopxki thì thay 1=x+y+z r sử dụng bđt côsi chính là câu a đấy
Theo giả thiết ta có \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{z}\Leftrightarrow xz+yz=xy\)
\(\Leftrightarrow xy-xz-yz=0\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+xy-xz-yz=x^2+y^2+z^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y-z\right)^2=x^2+y^2+z^2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\left|x+y-z\right|\)
Mà x, y, z là các số hữu tỉ nên \(\left|x+y-z\right|\)là số hữu tỉ
Vậy \(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)là số hữu tỉ (đpcm)