Question

[nguyenminhthang]

Giải phương trình \(3\sqrt{2x+1}\:-\:6\sqrt{x+4}+\sqrt{\left(2x+1\right)\left(x+4\right)}+7\:=0\)

Answer 1

[Trần Minh Hoàng]

ĐKXĐ: \(x\ge-\frac{1}{2}\).

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2x+1}=a\ge0\\\sqrt{x+4}=b>0\end{matrix}\right.\).

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}3a-6b+ab+7=0\\2b^2-a^2=7\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2b^2-a^2+ab+3a-6b=0\\2b^2-a^2=7\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(2b-a\right)\left(a+b-3\right)=0\\2b^2-a^2=7\end{matrix}\right.\).

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}2b=a\\a+b=3\end{matrix}\right.\\2b^2-a^2=7\end{matrix}\right.\).

+) Nếu 2b = a thì \(2\sqrt{x+4}=\sqrt{2x+1}\Leftrightarrow4\left(x+4\right)=2x+1\Leftrightarrow x=-\frac{15}{2}\) (loại).

+) Nếu a + b = 3 thì \(\sqrt{2x+1}+\sqrt{x+4}=3\).

Với x > 0 thì VT > 3. Với x < 0 thì VT < 3.

Do đó x = 0 (TMĐK).

Vậy nghiệm của phương trình là x = 0.