Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đề thi chuyên SP hả em, bài này sử dụng Liên hợp với đánh giá em nhé:
Đầu tiên trừ 2 về mình có là
\(x\sqrt{y+4}+x\sqrt{y+11}-y\sqrt{x+4}-y\sqrt{x+11}=0\)
Từ hệ mình dễ dàng suy ra đc x,y>0
Anh liên hợp cho 1 cái nha
\(x\sqrt{y+4}-y\sqrt{x+4}=\sqrt{x^2y+4x^2}-\sqrt{y^2x+4y^2}=\dfrac{x^2y-y^2x+4x^2-4y^2}{\sqrt{.........}+\sqrt{.......}}=\left(x-y\right).\dfrac{xy+4x+4y}{\sqrt{.........}+\sqrt{............}}\)
Cái kia em cx liên hợp tương tự, đặt x-y của cả 2 cái khi liên hợp xong phương trình sẽ là
\(\left(x-y\right)\left(\dfrac{xy+4x+4y}{\sqrt{...}+\sqrt{...}}+\dfrac{xy+11x+11y}{\sqrt{........}+\sqrt{.....}}\right)=0\) Cái trong ngoặc to đùng hiển nhiên >0 với x,y>0. DO đó x-y=0 hay x=y
EM thế vào phương trình ban đầu thì có \(x\sqrt{x+4}+x\sqrt{x+11}=35\)
Đến đây thì nhẩm đc x=5 thoả mãn em giải bằng đánh giá:
Với x=5 suy ra......=35
Với x>5 suy ra......>35
Với x<5 suy ra.....<35
Kết luận đc x=5, do đó y=5
Note: hướng làm em nhé, bổ sung thêm điều kiện xác định linh tinh zô
ĐKXĐ: ...
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}=a\ge0\\\sqrt{y}=b\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2b+ab^2=30\\a^3+b^3=35\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3a^2b+3ab^2=90\\a^3+b^3=35\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^3=125\Rightarrow a+b=5\)
Cũng từ \(a^2b+ab^2=30\Rightarrow ab\left(a+b\right)=30\Rightarrow ab=\dfrac{30}{a+b}=6\)
Theo Viet đảo, a và b là nghiệm của:
\(t^2-5t+6=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=2\\t=3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(a;b\right)=...\Rightarrow x;y\)
Phần a)
\(\left\{\begin{matrix} x\sqrt{y}+y\sqrt{x}=30\\ x\sqrt{x}+y\sqrt{y}=35\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})=30\\ (\sqrt{x}+\sqrt{y})(x-\sqrt{xy}+y)=35\end{matrix}\right.\)
Khi đó hpt trở thành:
Đặt \((\sqrt{xy}; \sqrt{x}+\sqrt{y})=(a,b)\)
HPT trở thành:
\(\left\{\begin{matrix} ab=30\\ b(b^2-3a)=35\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} ab=30\\ b^3=125\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=6\\ b=5\end{matrix}\right.\)
Vậy \(\sqrt{xy}=6; \sqrt{x}+\sqrt{y}=5\). Theo định lý Viete đảo thì \(\sqrt{x}; \sqrt{y}\) là nghiệm của pt:
\(T^2-5T+6=0\Rightarrow (\sqrt{x}; \sqrt{y})=(2,3)\) và hoán vị
\(\Rightarrow (x,y)=(4,9)\) và hoán vị
b)
HPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y+xy=2+3\sqrt{2}\\ (x+y)^2-2xy=6\end{matrix}\right.\)
Đặt \((x+y,xy)=(a,b).\) Khi đó hpt trở thành:
\(\left\{\begin{matrix} a+b=2+3\sqrt{2}\\ a^2-2b=6\end{matrix}\right.\Rightarrow a^2-2(2+3\sqrt{2}-a)=6\)
\(\Leftrightarrow a^2+2a=10+6\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow (a+1)^2=11+6\sqrt{2}=(3+\sqrt{2})^2\)
\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} a=2+\sqrt{2}\\ a=-4-\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} b=2\sqrt{2}\\ b=6+4\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)
Với \((a,b)=(2+\sqrt{2}; 2\sqrt{2})\) theo đl Viete đảo suy ra \((x,y)=(2,\sqrt{2})\) và hoán vị.
Với \((a,b)=(-4-\sqrt{2}, 6+4\sqrt{2})\Rightarrow \) theo đl Viete đảo thì (x,y) là nghiệm của pt: \(T^2+(4+\sqrt{2})T+6+4\sqrt{2}=0\), pt vô nghiệm nên không tồn tại $x,y$
Vậy \((x,y)=(2,\sqrt{2})\) và hoán vị.
- Lời giải Ta có hệ phương trình: \left\{\begin{matrix} x \sqrt{y}+y \sqrt{x}=30 \\ x \sqrt{x}+y \sqrt{y}=35 \end{matrix}\right.. Đặt \left\{\begin{matrix} a=\sqrt{x} \\ b=\sqrt{y} \end{matrix}\right. (a, b\geq 0) Ta có: \left\{\begin{matrix} a^2b+ab^2=30 && (1)\\ a^3+b^3=35 && (2)\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} ab(a+b)=30\\ (a+b)(a^2-ab+b^2)=35\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 7ab(a+b)=210\\ 6(a+b)(a^2-ab+b^2)=210\end{matrix}\right. Suy ra: 6(a+b)(a^2+b^2-ab)-7ab(a+b)=0 \Leftrightarrow (a+b)(6a^2+6b^2-13ab)=0 \Leftrightarrow (a+b)(2a-3b)(3a-2b)=0 \Leftrightarrow a+b=0 hoặc 2a=3b hoặc 3a=2b \bullet Xét: a+b=0 Vì a, b\geq 0 nên a+b=0\Leftrightarrow a=b=0\Leftrightarrow \sqrt{x}=\sqrt{y}=0\Leftrightarrow x=y=0 \bullet Xét: 2a=3b, thay vào (2) ta có: a^3+\left(\frac{2a}{3}\right)^3=35\Leftrightarrow \frac{35}{27}a^3=35\Leftrightarrow a^3=27 \Leftrightarrow a=3\Rightarrow b=2. Suy ra \left\{\begin{matrix} \sqrt{x}=3 \\ \sqrt{y}=2 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=9\\ y=4\end{matrix}\right. \bullet Xét 3a=2b, thay vào (2) có: a^3+\left(\frac{3a}{2}\right)^3=35\Leftrightarrow \frac{35}{8}a^3=35\Leftrightarrow a^3=8 \Leftrightarrow a=2\Rightarrow b=3. Suy ra \left\{\begin{matrix} \sqrt{x}=2 \\ \sqrt{y}=3 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=4\\ y=9\end{matrix}\right. Vậy hệ phương trình đã cho có 3 nghiệm: (0; 0); (9; 4); (4; 9)
1) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}3\sqrt{x}-\sqrt{y}=5\\2\sqrt{x}+3\sqrt{y}=18\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}9\sqrt{x}-3\sqrt{y}=15\\2\sqrt{x}+3\sqrt{y}=18\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}11\sqrt{x}=33\\3\sqrt{x}-\sqrt{y}=5\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}=3\\\sqrt{y}=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=9\\y=16\end{matrix}\right.\)
Vậy: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left\{{}\begin{matrix}x=9\\y=16\end{matrix}\right.\)
2) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x+3}-2\sqrt{y+1}=2\\2\sqrt{x+3}+\sqrt{y+1}=4\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2\sqrt{x+3}+4\sqrt{y+1}=-4\\2\sqrt{x+3}+\sqrt{y+1}=4\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}5\sqrt{y+1}=0\\\sqrt{x+3}-2\sqrt{y+1}=2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{y+1}=0\\\sqrt{x+3}=2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y+1=0\\x+3=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=-1\\x=1\end{matrix}\right.\)
Vậy: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=-1\end{matrix}\right.\)
4. Đk: \(x,y\ge0\)
\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}+\sqrt{y+1}=1\\\sqrt{y}+\sqrt{x+1}=1\end{matrix}\right.\left(1\right)\)
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}+\sqrt{y+1}\ge0+1=1\\\sqrt{y}+\sqrt{x+1}\ge0+1=1\end{matrix}\right.\left(2\right)\)
\(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}=0,\sqrt{x+1}=1\\\sqrt{y}=0,\sqrt{y+1}=1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=0\end{matrix}\right.\)<tmđk>
Vậy hệ pt có nghiệm \(\left(x,y\right)=\left(0;0\right)\)
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)x+y=\sqrt{2}\\x+\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)y=\sqrt{6}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)x+y=\sqrt{2}\\\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)x+y=3\sqrt{2}-2\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}0y=-2\sqrt{2}+2\sqrt{3}\left(vôlý\right)\\\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)x+y=3\sqrt{2}-2\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)
Vậy: Hệ phương trình vô nghiệm
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x+2}{y-1}=\dfrac{x-4}{y+2}\\\dfrac{2x+3}{y-1}=\dfrac{4x+1}{2y+1}\end{matrix}\right.\)
⇔\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+2\right)\left(y+2\right)=\left(y-1\right)\left(x-\text{4}\right)\\\left(2x+3\right)\left(2y+1\right)=\left(y-1\right)\left(4x+1\right)\end{matrix}\right.\)
⇔\(\left\{{}\begin{matrix}xy+2x+2y+4=xy-4y-x+4\\4xy+2x+6y+3=4xy-4x+y-1\end{matrix}\right.\)
⇔\(\left\{{}\begin{matrix}3x+6y=0\\6x+5y=-4\end{matrix}\right.\)
⇔\(\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{8}{7}\\y=\dfrac{4}{7}\end{matrix}\right.\)(TM)
\(\left\{{}\begin{matrix}5\left(x-y\right)-3\left(2x+3y\right)=12\\3\left(x+2y\right)-4\left(x+2y\right)=5\end{matrix}\right.\)
⇔\(\left\{{}\begin{matrix}5x-5y-6x-9y=12\\3x+6y-4x-8y=5\end{matrix}\right.\)
⇔\(\left\{{}\begin{matrix}-x-14y=12\\-x-2y=5\end{matrix}\right.\)
⇔\(\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{26}{3}\\y=-\dfrac{7}{12}\end{matrix}\right.\)
Vậy HPT có nghiệm (x;y) = (\(-\dfrac{26}{3};-\dfrac{7}{12}\))
Lời giải:
HPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})=30(1)\\ (\sqrt{x}+\sqrt{y})(x-\sqrt{xy}+y)=35\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow 35\sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})=30(\sqrt{x}+\sqrt{y})(x-\sqrt{xy}+y)\)
\(\Leftrightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{y}))(30x-65\sqrt{xy}+30y)=0\)
Nếu $\sqrt{x}+\sqrt{y}=0$ thì từ $(1)$ suy ra $\sqrt{xy}.0=30$ (vô lý)
Nếu $30x-65\sqrt{xy}+30y=0$
$\Leftrightarrow 6x-13\sqrt{xy}+6y=0$
$\Leftrightarrow (2\sqrt{x}-3\sqrt{y})(3\sqrt{x}-2\sqrt{y})=0$
$\Rightarrow \sqrt{x}=\frac{3}{2}\sqrt{y}$ hoặc $\sqrt{x}=\frac{2}{3}\sqrt{y}$
Thay lần lượt từng TH vào $(1)\Rightarrow (x,y)=(9,4); (4,9)$
Lời giải:
HPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})=30(1)\\ (\sqrt{x}+\sqrt{y})(x-\sqrt{xy}+y)=35\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow 35\sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})=30(\sqrt{x}+\sqrt{y})(x-\sqrt{xy}+y)\)
\(\Leftrightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{y}))(30x-65\sqrt{xy}+30y)=0\)
Nếu $\sqrt{x}+\sqrt{y}=0$ thì từ $(1)$ suy ra $\sqrt{xy}.0=30$ (vô lý)
Nếu $30x-65\sqrt{xy}+30y=0$
$\Leftrightarrow 6x-13\sqrt{xy}+6y=0$
$\Leftrightarrow (2\sqrt{x}-3\sqrt{y})(3\sqrt{x}-2\sqrt{y})=0$
$\Rightarrow \sqrt{x}=\frac{3}{2}\sqrt{y}$ hoặc $\sqrt{x}=\frac{2}{3}\sqrt{y}$
Thay lần lượt từng TH vào $(1)\Rightarrow (x,y)=(9,4); (4,9)$
Lời giải:
HPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})=30(1)\\ (\sqrt{x}+\sqrt{y})(x-\sqrt{xy}+y)=35\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow 35\sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})=30(\sqrt{x}+\sqrt{y})(x-\sqrt{xy}+y)\)
\(\Leftrightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{y}))(30x-65\sqrt{xy}+30y)=0\)
Nếu $\sqrt{x}+\sqrt{y}=0$ thì từ $(1)$ suy ra $\sqrt{xy}.0=30$ (vô lý)
Nếu $30x-65\sqrt{xy}+30y=0$
$\Leftrightarrow 6x-13\sqrt{xy}+6y=0$
$\Leftrightarrow (2\sqrt{x}-3\sqrt{y})(3\sqrt{x}-2\sqrt{y})=0$
$\Rightarrow \sqrt{x}=\frac{3}{2}\sqrt{y}$ hoặc $\sqrt{x}=\frac{2}{3}\sqrt{y}$
Thay lần lượt từng TH vào $(1)\Rightarrow (x,y)=(9,4); (4,9)$