K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

NV
26 tháng 7 2020

ĐKXĐ: ...

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{\sqrt[3]{x}}=a\\\frac{1}{\sqrt[3]{y}}=b\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^3+b^3=9\\\left(a+b\right)\left(a+1\right)\left(b+1\right)=18\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)=9\\\left(a+b\right)\left(ab+a+b+1\right)=18\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)=9\\ab\left(a+b\right)+\left(a+b\right)^2+\left(a+b\right)=18\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)=9\\3ab\left(a+b\right)+3\left(a+b\right)^2+3\left(a+b\right)=54\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)^3+3\left(a+b\right)^2+3\left(a+b\right)=63\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+3\left(a+b\right)^2+3\left(a+b\right)+1=64\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+1\right)^3=4^3\)

\(\Leftrightarrow a+b+1=4\Rightarrow a+b=3\)

\(\Rightarrow3\left(ab+3+1\right)=18\Rightarrow ab=2\)

Theo Viet đảo; a và b là nghiệm:

\(t^2-3t+2=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=1\\t=2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(a;b\right)=\left(1;2\right);\left(2;1\right)\Rightarrow\left(x;y\right)=\left(1;\frac{1}{8}\right);\left(\frac{1}{8};1\right)\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
5 tháng 1 2020

Bài 1:

Đặt $\sqrt[4]{y^3-1}=a; \sqrt{x}=b$ $(a,b\geq 0$)

Khi đó hệ PT trở thành:

\(\left\{\begin{matrix} a+b=3\\ b^4+a^4+1=82\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=3\\ a^4+b^4=81\end{matrix}\right.\)

Có: \(a^4+b^4=81\)

\(\Leftrightarrow (a^2+b^2)^2-2a^2b^2=81\)

\(\Leftrightarrow [(a+b)^2-2ab]^2-2a^2b^2=81\)

\(\Leftrightarrow (9-2ab)^2-2a^2b^2=81\)

\(\Leftrightarrow 2a^2b^2-36ab=0\)

\(\Leftrightarrow ab(ab-18)=0\Rightarrow \left[\begin{matrix} ab=0\\ ab=18\end{matrix}\right.\)

Nếu $ab=0$. Kết hợp với $a+b=3$ suy ra $(a,b)=(3,0); (0,3)$

$\Rightarrow (x,y)=(0, \sqrt[4]{82}); (9, 1)$

Nếu $ab=18$. Kết hợp với $a+b=3$ và định lý Vi-et đảo suy ra $a,b$ là nghiệm của pt: $X^2-3X+18=0$

Dễ thấy pt này vô nghiệm nên loại

Vậy......

AH
Akai Haruma
Giáo viên
5 tháng 1 2020

Bài 2:

ĐK: ..........
Đặt $\sqrt{x+\frac{1}{y}}=a; \sqrt{x+y-3}=b$ $(a,b\geq 0$)

HPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=3\\ a^2+b^2+3=8\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=3\\ a^2+b^2=5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=3\\ (a+b)^2-2ab=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=3\\ ab=2\end{matrix}\right.\)

Áp dụng định lý Vi-et đảo thì $a,b$ là nghiệm của pt $X^2-3X+2=0$

$\Rightarrow (a,b)=(2,1); (1,2)$

Nếu $(a,b)=(2,1)$

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{y}=4\\ x+y-3=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{y}=4\\ x+y=4\end{matrix}\right.\Rightarrow y=\frac{1}{y}\Rightarrow y=\pm 1\)

$y=1\rightarrow x=3$

$y=-1\rightarrow y=5$

Nếu $(a,b)=(1,2)$

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{y}=1\\ x+y-3=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{y}=1\\ x+y=7\end{matrix}\right.\Rightarrow y-\frac{1}{y}=6\)

\(\Rightarrow y^2-6y-1=0\Rightarrow y=3\pm \sqrt{10}\)

Nếu $y=3+\sqrt{10}\rightarrow x=4-\sqrt{10}$

Nếu $y=3-\sqrt{10}\rightarrow x=4+\sqrt{10}$

Vậy...........

AH
Akai Haruma
Giáo viên
2 tháng 12 2019

Câu 1: ĐK: $x\geq 1$

Xét PT(1):

\(x^2+xy(2y-1)=2y^3-2y^2-x\)

\(\Leftrightarrow x^2-xy+x+(2xy^2-2y^3+2y^2)=0\)

\(\Leftrightarrow x(x-y+1)+2y^2(x-y+1)=0\)

\(\Leftrightarrow (x-y+1)(x+2y^2)=0\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} y=x+1\\ 2y^2=-x\end{matrix}\right.\)

Nếu $y=x+1$, thay vào PT(2):

$\Rightarrow 6\sqrt{x-1}+x+8=4x^2$

$\Leftrightarrow 4(x^2-4)-6(\sqrt{x-1}-1)-(x-2)=0$

\(\Leftrightarrow 4(x-2)(x+2)-6.\frac{x-2}{\sqrt{x-1}+1}-(x-2)=0\)

\(\Leftrightarrow (x-2)\left[4(x+2)-\frac{6}{\sqrt{x-1}+1}-1\right]=0\)

Với mọi $x\geq 1$ dễ thấy:

$4(x+2)\geq 12$

\(\frac{6}{\sqrt{x-1}+1}+1\leq 6+1=7\)

Suy ra biểu thức trong ngoặc vuông lớn hơn $0$

$\Rightarrow x-2=0\Rightarrow x=2$ (thỏa mãn)

$\Rightarrow y=x+1=3$

Nếu $2y^2=-x\Rightarrow -x\geq 0\Rightarrow x\leq 0$ (vô lý do $x\geq 1$)

Vậy $(x,y)=(2,3)$

AH
Akai Haruma
Giáo viên
2 tháng 12 2019

Câu 2:

Nếu như bạn nói những bài toán này được giải theo kiểu đưa về phân tích thành nhân tử thì đề bài của bạn có lẽ sai vì không pt nào trong câu này đưa được về dạng tích. Mình thấy PT(1) có lẽ cần sửa lại thành:

\(x\sqrt{x^2+y}+y=\sqrt{x^4+x^3}+x\)

ĐKXĐ: $x\geq 1; y\geq 0$

Với $x\geq 1; y\geq 0$. Xét PT(1):

\(\Leftrightarrow (x\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^4+x^3})+(y-x)=0\)

\(\Leftrightarrow \frac{x^2(x^2+y)-(x^4+x^3)}{x\sqrt{x^2+y}+\sqrt{x^4+x^3}}+(y-x)=0\)

\(\Leftrightarrow \frac{x^2(y-x)}{x\sqrt{x^2+y}+\sqrt{x^4+x^3}}+(y-x)=0\)

\(\Leftrightarrow (y-x)\left[\frac{x^2}{x\sqrt{x^2+y}+\sqrt{x^4+x^3}}+1\right]=0\)

Dễ thấy biểu thức trong ngoặc vuông luôn dương với mọi $x\geq 1; y\geq 0$ nên $y-x=0\Rightarrow y=x$

Thay vào PT(2):

$x+\sqrt{x}+\sqrt{x-1}+\sqrt{x(x-1)}=\frac{9}{2}$

\(\Leftrightarrow 2x+2\sqrt{x}+2\sqrt{x-1}+2\sqrt{x(x-1)}-9=0\)

\(\Leftrightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{x-1})^2+2(\sqrt{x}+\sqrt{x-1})-8=0\)

\(\Leftrightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{x-1}-2)(\sqrt{x}+\sqrt{x-1}+4)=0\)

Dễ thấy \(\sqrt{x}+\sqrt{x-1}+4>0\) nên $\sqrt{x}+\sqrt{x-1}=2$

$\Rightarrow 2x-1+2\sqrt{x(x-1)}=4$

$\Leftrightarrow 5-2x=2\sqrt{x(x-1)}$

Tiếp tục bình phương kết hợp với điều kiện $x\leq \frac{5}{2}$ ta tìm được $x=\frac{25}{16}$

Vậy $x=y=\frac{25}{16}$

giải hệ phương trình 1 , \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+y\right)\left(x-1\right)=\left(x-y\right)\left(x+1\right)+2xy\\\left(y-x\right)\left(y-1\right)=\left(y+x\right)\left(y-2\right)-2xy\end{matrix}\right.\) 2, \(\left\{{}\begin{matrix}2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{2y}\right)+3\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{2y}\right)^2=9\\\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{2y}\right)-6\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{2y}\right)^2=-3\end{matrix}\right.\) 3 ,...
Đọc tiếp

giải hệ phương trình

1 , \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+y\right)\left(x-1\right)=\left(x-y\right)\left(x+1\right)+2xy\\\left(y-x\right)\left(y-1\right)=\left(y+x\right)\left(y-2\right)-2xy\end{matrix}\right.\)

2, \(\left\{{}\begin{matrix}2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{2y}\right)+3\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{2y}\right)^2=9\\\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{2y}\right)-6\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{2y}\right)^2=-3\end{matrix}\right.\)

3 , \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{xy}{x+y}=\frac{2}{3}\\\frac{yz}{y+z}=\frac{6}{5}\\\frac{zx}{z+x}=\frac{3}{4}\end{matrix}\right.\)

4 , \(\left\{{}\begin{matrix}2xy-3\frac{x}{y}=15\\xy+\frac{x}{y}=15\end{matrix}\right.\)

5 , \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+3xy=5\\x^2+y^2=1\end{matrix}\right.\)

6 , \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+xy=11\\x^2+y^2+3\left(x+y\right)=28\end{matrix}\right.\)

7, \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=4\\x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=4\end{matrix}\right.\)

8, \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+xy=11\\xy\left(x+y\right)=30\end{matrix}\right.\)

9 , \(\left\{{}\begin{matrix}x^5+y^5=1\\x^9+y^9=x^4+y^4\end{matrix}\right.\)

3
27 tháng 6 2019

1,\(hpt\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-2y\right)\left(x+y\right)=0\\\sqrt{2x}+\sqrt{y+1}=2\left(\circledast\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(x-2y\right)\left(x+y\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2y\\x=-y\end{matrix}\right.\)

Th1:\(x=2y\) Thay vào \(\left(\circledast\right)\) , ta có :

\(\sqrt{4y}+\sqrt{y+1}=2\)

\(\Leftrightarrow2-2\sqrt{y}=\sqrt{y+1}\)\(\Leftrightarrow3y-8\sqrt{y}+3=0\)

Giải pt thu được (x;y)

Th2:x=-y thay vào \(\left(\circledast\right)\), ta có

\(\sqrt{-2x}+\sqrt{y+1}=2\)

Xét đk ta thấy:\(y\le0;y\ge-1\)(vô nghiệm)

Vậy ....

27 tháng 6 2019

2,\(hpt\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-y-1\right)\left(x+y^2\right)=0\\\sqrt{x}+\sqrt{y+1}=2\end{matrix}\right.\)

\(\left(x-y-1\right)\left(x+y^2\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y+1\\x=-y^2\end{matrix}\right.\)

Th1:\(x=y+1\)

Thay vào ta có:\(\sqrt{x}+\sqrt{x}=2\Leftrightarrow x=1\)\(\Leftrightarrow y=0\)

Th2:\(x=-y^2\)thay vào ta có:

\(\sqrt{-y^2}+\sqrt{y+1}=2\)

\(-y^2\le0\) mà nhận thấy y=0 ko là nghiệm của pt

\(\Rightarrow\)Pt vô nghiệm