Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có \(x+y+z=1\Rightarrow x+y=1-z,\) ta có:
\(\frac{x+y}{\sqrt{xy+z}}=\frac{1-z}{\sqrt{xy+1-x-y}}=\frac{1-z}{\sqrt{\left(1-x\right)\left(1-y\right)}}\)
\(\frac{y+z}{\sqrt{yz+x}}=\frac{1-x}{\sqrt{yz+1-y-z}}=\frac{1-x}{\sqrt{\left(1-y\right)\left(1-z\right)}}\)
\(\frac{z+x}{\sqrt{zx+y}}=\frac{1-y}{\sqrt{zx+1-x-z}}=\frac{1-y}{\sqrt{\left(1-x\right)\left(1-z\right)}}\)
Khi đó \(P=\frac{x+y}{\sqrt{xy+z}}+\frac{y+z}{\sqrt{yz+x}}+\frac{z+x}{\sqrt{zx+y}}=\frac{1-z}{\sqrt{\left(1-x\right)\left(1-y\right)}}+\frac{1-x}{\sqrt{\left(1-y\right)\left(1-z\right)}}+\frac{1-y}{\sqrt{\left(1-x\right)\left(1-z\right)}}\)
\(\ge3\sqrt[3]{\frac{1-z}{\left(1-x\right)\left(1-y\right)}\times\frac{1-x}{\left(1-y\right)\left(1-z\right)}\times\frac{1-y}{\left(1-x\right)\left(1-z\right)}}=3\)
Vậy \(MinP=3\) đạt được khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
\(P=\dfrac{x+y}{\sqrt{xy+z}}+\dfrac{y+z}{\sqrt{yz+x}}+\dfrac{z+x}{\sqrt{xz+y}}\)
\(P=\dfrac{x+y}{\sqrt{xy+\left(x+y+z\right)z}}+\dfrac{y+z}{\sqrt{yz+\left(x+y+z\right)x}}+\dfrac{x+z}{\sqrt{zx+\left(x+y+z\right)y}}\)
\(P=\dfrac{x+y}{\sqrt{xy+xz+yz+z^2}}+\dfrac{y+z}{\sqrt{yz+x^2+xy+xz}}+\dfrac{x+z}{\sqrt{xz+xy+y^2+yz}}\)
\(P=\dfrac{x+y}{\sqrt{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}+\dfrac{y+z}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+\dfrac{x+z}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow P\ge3\sqrt[3]{\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}{\sqrt{\left(x+y\right)^2\left(y+z\right)^2\left(x+z\right)^2}}}=3\sqrt[3]{\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}}=3\)
\(\Rightarrow P\ge3\)
Vậy \(P_{min}=3\)
Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
từ điều kiện suy ra \(\frac{y+z}{x}-1=\frac{x+z}{y}-1=\frac{x+y}{z}-1\)1\(\Rightarrow\frac{y+z}{x}=\frac{x+z}{y}=\frac{x+y}{z}\)
\(\frac{y+z}{x}=\frac{x+z}{y}\Rightarrow\frac{y+z}{x}-\frac{x+z}{y}=0\)\(\Rightarrow\frac{y\left(y+z\right)-x\left(x+z\right)}{xy}=0\)
\(\Rightarrow y^2+yz-xz-x^2=0\Rightarrow y^2-x^2+yz-zx=0\)\(\Rightarrow\left(y+x\right)\left(y-x\right)+z\left(y+x\right)\)=0
\(\Rightarrow\left(y-x\right)\left(x+y+z\right)=0\)\(\Rightarrow\)hoặc y-x=0 hoặc x+y+z=0 \(\Rightarrow\)x=y hoặc x+y=-z
giải tương tự ta có hoặc x=y=z hoặc x+y=-z;y+z=-x;x+z=-y
*x=y=z thay vào biểu thức ta có bt=8
*x+y=-z;y+z=-x;x+z=-y ta có bt =\(\left(\frac{x+y}{y}\right)\left(\frac{z+y}{z}\right)\left(\frac{x+z}{x}\right)\)=-1
Ta có :
\(B=\left(1+\frac{x}{y}\right)\left(1+\frac{y}{z}\right)\left(1+\frac{z}{x}\right)=\frac{\left(y+x\right)\left(z+y\right)\left(x+z\right)}{xyz}\)
+ ) Nếu \(x+y+z\ne0\)
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(\frac{y+z-x}{x}=\frac{z+x-y}{y}=\frac{x+y-z}{z}\)
\(=\frac{\left(y+z-x\right)\left(z+x-y\right)\left(x+y-x\right)}{x+y+z}\)
\(=\frac{x+y+z}{x+y+z}\)
\(=1\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}y+z-x=x\\z+x-y=y\\x+y-z=z\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y+z=2x\\z+x=2y\\x+y=2z\end{cases}}}\)
Do đó , \(B=\frac{\left(y+x\right)\left(z+y\right)\left(x+z\right)}{xyz}=\frac{2z.2x.2y}{xyz}=8\)
+ ) Nếu \(x+y+z\ne0\text{thì}\hept{\begin{cases}x+y=-z\\x+z=-y\\y+z=-x\end{cases}}\)
Do đó , \(B=\frac{\left(-x\right).\left(-y\right).\left(-z\right)}{xyz}=-1\)
Vậy : \(B=-1\text{hoặc}B=8\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số = nhau ta có:
\(\frac{y+z-x}{x}=\frac{z+x-y}{y}=\frac{x+y-z}{z}=\frac{\left(y+z-x\right)+\left(z+x-y\right)+\left(x+y-z\right)}{x+y+z}=\frac{x+y+z}{x+y+z}\) (1)
Xét 1 trường hợp:
- TH1: x + y + z = 0 \(\Rightarrow\begin{cases}x+y=-z\\y+z=-x\\z+x=-y\end{cases}\)
Ta có: \(\left(1+\frac{x}{y}\right)\left(1+\frac{y}{z}\right)\left(1+\frac{z}{x}\right)=\frac{x+y}{y}.\frac{y+z}{z}.\frac{z+x}{x}=\frac{-z}{y}.\frac{-x}{z}.\frac{-y}{x}=-1\)
- TH2: \(x+y+z\ne0\)
Từ (1) \(\Rightarrow\frac{y+z-x}{x}=\frac{z+x-y}{y}=\frac{x+y-z}{z}=\frac{x+y+z}{x+y+z}=1\)
\(\Rightarrow\begin{cases}y+z-x=x\\z+x-y=y\\x+y-z=z\end{cases}\)\(\Rightarrow\begin{cases}y+z=2x\\z+x=2y\\x+y=2z\end{cases}\)
Ta có: \(\left(1+\frac{x}{y}\right)\left(1+\frac{y}{z}\right)\left(1+\frac{z}{x}\right)=\frac{x+y}{y}.\frac{y+z}{z}.\frac{x+z}{x}=\frac{2z}{y}.\frac{2x}{z}.\frac{2y}{x}=2^3=8\)
ta có y+z-x/x=z+x-y/y=x+y-z/z=y+z-x+z+x-y+x+y-z/x+y+z=(2y-y)+(2x-x)+(2z-z)/x+y+z=y+x+z/x+y+z=1
=>y+z-x/x=1 =>z+x-y/y=1
z+x-y/y=1 x+y-z/z=1
=> y+z-x=x => z+x-y=y
z+x-y=y x+y-z=z
=>2y-2x=x-y =>2z-2y=y-z
3y-3x=0 3z-3y=0
y-x=0 z-y=0
=>x=y =>z=y
=>x=y=z
=> y+z-x/x+z+x-y/y+x+y-z/z= 0,(3)+0,(3)+0,(3)=1
=>x +y+z=0,(3)+0,(3)+0,(3)=1
thay vào b=(1+x/y). (1+y/z). (1+z/x)
b=(1+0,(3)/0,(3)).(1+0,(3)/0,(3)).(1+0,(3)/0,(3))
b=(1+1).(1+1).(1+1)
b=2.2.2
b=2^3
b=8
CÂU TRẢ LỜI TRƯỚC MK BẤM NHẦM
Từ\(\frac{y+z-x}{x}\)=\(\frac{z+x-y}{y}\)= \(\frac{x+y-z}{z}\)\(\Rightarrow\frac{\left(y+z-x\right)+\left(z+x-y\right)+\left(x+y-z\right)}{x+y+z}\) ( t/c dãy tỉ số bằng nhau)
\(\Rightarrow\frac{x+y+z}{x+y+z}=1\)
Khi đó: B=\(\left(1+\frac{x}{y}\right)=\left(1+\frac{y}{z}\right)=\left(1+\frac{z}{x}\right)\) \(\Rightarrow\frac{y+x}{y}=\frac{z+y}{z}=\frac{x+z}{x}\) ( Quy đồng từng phân thức)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: \(\frac{y+x+z+y+x+z}{x+y+z}=\frac{2\left(x+y+z\right)}{x+y+z}\)
\(=x+y+z\)
\(=1\)
Vậy B =1