Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{8^2}+...+\frac{1}{\left(2n\right)^2}< \frac{1}{2.4}+\frac{1}{4.6}+\frac{1}{6.8}+...+\frac{1}{\left(2n-2\right)2n}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+...+\frac{1}{\left(2n\right)^2}< \frac{2}{2.4}+\frac{2}{4.6}+\frac{2}{6.8}+...+\frac{2}{\left(2n-2\right)2n}\)\(.\frac{1}{2}\) Ta gọi là A
\(\Rightarrow A=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2.4}+\frac{1}{4.6}+\frac{1}{6.8}+...+\frac{1}{\left(2n-2\right)2n}\right)\)
\(\Rightarrow A=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2n}\right)=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}-\frac{1}{2}.\frac{1}{2n}=\frac{1}{4}-\frac{1}{2n.2}\)
\(\Rightarrow M< \frac{1}{4}-\frac{1}{2n.2}< \frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow M< \frac{1}{4}\left(Đpcm\right)\)
\(\)
\(N=\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{8^2}+...+\frac{1}{2n^2}< \frac{1}{4}\)
Ta thấy:\(\frac{1}{4^2}< \frac{1}{3.4}\)
\(\frac{1}{6^2}< \frac{1}{4.5}\)
\(\frac{1}{8^2}< \frac{1}{6.7}\)
.......
\(\frac{1}{2n^2}< \frac{1}{\left(2n^2-2\right)\left(2n^2-1\right)}\)
Do đó:\(\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{8^2}+...+\frac{1}{2n^2}< \frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{\left(2n^2-2\right)\left(2n^2-1\right)}\) hay
\(\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+...+\frac{1}{2n^2}< \frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{2n^2-2}-\frac{1}{2n^2-1}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+...+\frac{1}{2n^2}< \frac{1}{3}-\frac{1}{2n^2-1}\). Thay n = 2 ta có:
\(\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+...+\frac{1}{2n^2}< \frac{1}{3}-\frac{1}{2.2^2-1}=\frac{1}{3}-\frac{1}{7}< \frac{1}{4}^{\left(đpcm\right)}\)
nhờ bạn giải thích kết quả của phép tính từ \(\frac{1}{8^2}+\frac{1}{10^2}+....+\frac{1}{2n^2}=?\)bao nhiêu và bạn làm thế nào để triệt tiêu còn lại số hạng đầu và số hạng cuối của dãy tính vì theo nếu theo kết quả bạn thì các sô hạng thứ ba trở đi theo quy luật mẫu các phân số được viết dưới dạng \((2n^2-2).\left(2n^2-1\right)\)thì kết quả ko thể triệt tiêu số hạng trước cho số hạng sau được. nhờ bạn giúp cảm ơn bạn(tth).
Đặt A là tên biểu thức
\(A=1-\frac{15}{16}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{8^2}+...+\frac{1}{4n^2}\)
\(A=\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{8^2}+...+\frac{1}{2^2n^2}\)
\(A=\frac{1}{2^2}\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}\right)\)
Ta có: \(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2};\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3};\frac{1}{4^2}< \frac{1}{3.4};....;\frac{1}{n^2}< \frac{1}{\left(n-1\right)n}\)
\(A< \frac{1}{2^2}\left(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n}\right)\)
\(A< \frac{1}{2^2}\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)\)
\(A< \frac{1}{2^2}\left(1-\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{4}-\frac{1}{4n}< \frac{1}{4}\)(đpcm)
Ta có :
\(N=\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+...+\frac{1}{\left(2n\right)^2}\)
\(N=\frac{1}{2^2}.\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}\right)\)
Ta thấy : \(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2}\)
\(\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3}\)
.......
\(\frac{1}{n^2}< \frac{1}{\left(n-1\right).n}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{\left(n-1\right).n}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}< 1-\frac{1}{n}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}< 1\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2^2}.\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}\right)< 1.\frac{1}{2^2}\)
\(\Rightarrow N< \frac{1}{4}\)(ĐPCM)
Ủng hộ mk nha !!! ^_^
a)\(VT=\frac{1}{2\cdot5}+\frac{1}{5\cdot8}+...+\frac{1}{\left(3n-1\right)\left(3n+2\right)}\)
\(=\frac{1}{3}\left[\frac{3}{2\cdot5}+\frac{3}{5\cdot8}+...+\frac{3}{\left(3n-1\right)\left(3n+2\right)}\right]\)
\(=\frac{1}{3}\left[\frac{1}{2}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{8}+...+\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}\right]\)
\(=\frac{1}{3}\left[\frac{1}{2}-\frac{1}{3n+2}\right]=\frac{1}{3}\left[\frac{3n+2}{2\left(3n+2\right)}-\frac{2}{2\left(3n+2\right)}\right]\)
\(=\frac{1}{3}\cdot\frac{3n}{6n+4}=\frac{n}{6n+4}=VP\)
b) Ta có: \(\frac{5}{3.7}+\frac{5}{7.11}+...+\frac{5}{\left(4n-1\right)\left(4n+3\right)}\)
\(=\frac{5}{4}\left(\frac{4}{3.7}+\frac{4}{7.11}+...+\frac{4}{\left(4n-1\right)\left(4n+3\right)}\right)\)
\(=\frac{5}{4}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{11}+...+\frac{1}{4n-1}-\frac{1}{4n+3}\right)\)
\(=\frac{5}{4}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4n+3}\right)\)
\(=\frac{5}{4}\left(\frac{4n+3}{12n+9}-\frac{3}{12n+9}\right)\)
\(=\frac{5}{4}.\frac{4n}{12n+9}\)
\(=\frac{5n}{12n+9}\)
( sai đề )
Ta có :
\(\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{8^2}+...+\frac{1}{4n^2}=\frac{1}{\left(2.2\right)^2}+\frac{1}{\left(2.3\right)^2}+\frac{1}{\left(2.4\right)^2}+...+\frac{1}{\left(2.2n\right)^2}\)
\(=\frac{1}{2^2.2^2}+\frac{1}{2^2.3^2}+\frac{1}{2^2.4^2}+...+\frac{1}{2^2.4n^2}=\frac{1}{2^2}\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{4n^2}\right)\)
\(< \frac{1}{2^2}\left(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{\left(4n^2-1\right)4n^2}\right)\)
\(=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{4n^2-1}-\frac{1}{4n^2}\right)=\frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{4n^2}\right)\)
\(=\frac{1}{4}-\frac{1}{16n^2}< \frac{1}{4}\) ( vì \(\frac{1}{16n^2}>0\) )
Vậy \(\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{8^2}+...+\frac{1}{4n^2}< \frac{1}{4}\)
Chúc bạn học tốt ~