Question

[Ngô Thành Chung]

Đề thi có 50 câu trắc nghiệm 4 đáp án, mỗi câu đúng được 0,2đ. Một bạn học sinh vì chưa ôn tập nên quyết định chọn bừa 50 câu. Hỏi điểm số nào bạn ấy dễ đạt được nhất? (có xác suất cao nhất) 

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Xác suất bạn đó đúng cả 50 câu là \(\left(\dfrac{1}{4}\right)^{50}\), sai cả 50 câu là \(\left(\dfrac{3}{4}\right)^{50}\)

Giả sử bạn học sinh chọn được x câu đúng với \(0< x< 50\), trong 1 câu hỏi thì xác suất chọn được đáp án đúng là \(\dfrac{1}{4}\) và đáp án sai là \(\dfrac{3}{4}\)

Do đó xác suất để bạn đó đạt được x câu đúng là:

\(P\left(x\right)=C_{50}^x.\left(\dfrac{1}{4}\right)^x.\left(\dfrac{3}{4}\right)^{50-x}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}P\left(x\right)\ge P\left(x-1\right)\\P\left(x\right)\ge P\left(x+1\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}C_{50}^x\left(\dfrac{1}{4}\right)^x\left(\dfrac{3}{4}\right)^{50-x}\ge C_{50}^{x-1}\left(\dfrac{1}{4}\right)^{x-1}\left(\dfrac{3}{4}\right)^{51-x}\\C_{50}^x\left(\dfrac{1}{4}\right)^x\left(\dfrac{3}{4}\right)^{50-x}\ge C_{50}^{x+1}\left(\dfrac{1}{4}\right)^{x+1}\left(\dfrac{3}{4}\right)^{49-x}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{51-x}{4x}\ge\dfrac{3}{4}\\\dfrac{x+1}{50-x}.\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\dfrac{47}{4}\le x\le\dfrac{51}{4}\Rightarrow x=12\)

Hay học sinh đó dễ đạt được \(2,4\) điểm nhất