Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Xét \(f\left[f\left(x\right)+x\right]=\left[f\left(x\right)+x\right]^2+m\left[f\left(x\right)+x\right]+n\)
\(=\left(x^2+mx+n+x\right)^2+m\left(x^2+mx+n+x\right)+n\)
\(=\left(x^2+mx+n\right)^2+2x\left(x^2+mx+n\right)+x^2+m\left(x^2+mx+n\right)+mx+n\)
\(=\left(x^2+mx+n\right)^2+2x\left(x^2+mx+n\right)+m\left(x^2+mx+n\right)+\left(x^2+mx+n\right)\)
\(=\left(x^2+mx+n\right)\left(x^2+mx+n+2x+m+1\right)\)
\(=\left(x^2+mx+n\right)\left[\left(x+1\right)^2+m\left(x+1\right)+n\right]\)
\(=f\left(x\right).f\left(x+1\right)\)
Thay \(x=2021\)
\(\Rightarrow f\left[f\left(2021\right)+2021\right]=f\left(2021\right).f\left(2022\right)\)
Đặt \(f\left(2021\right)+2021=k\)
Do \(f\left(x\right)\) có hệ số m;n nguyên \(\Rightarrow k\) nguyên
\(\Rightarrow f\left(k\right)=f\left(2021\right).f\left(2022\right)\) với k nguyên
Hay tồn tại số nguyên k thỏa mãn yêu cầu
Chứng minh không tồn tại số nguyên n thỏa mãn :
\(\left(2020^{2020}+1\right)⋮\left(n^3+2018n\right)\)
Giả sử tồn tại số nghuyên n thỏa mãn \(\left(2020^{2020}+1\right)⋮\left(n^3+2018n\right)\)
Ta có \(n^3+2018n=n^3-n+2019n=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)+2019⋮3\)
Mặt khác \(2020^{2020}+1=\left(2019+1\right)^{2020}+1\) chia 3 dư 2
\(\Rightarrow\) vô lí
Vậy không tồn tại số nguyên n thỏa mãn yêu cầu bài toán
Vì \(2017\) là số lẻ\(\Rightarrow2017^n\) là số lẻ
Vì \(x,y,z\inℕ\) nên sẽ xảy ra các trường hợp như sau:
TH1: \(x,y,z\) là số lẻ
\(\Rightarrow x+y,x+z,y+z\) là số chẵn\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)\) là số chẵn\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)\ne2017^n\Rightarrow\)TH1 vô lí
TH2: \(x,y,z\) là số chẵn
\(\Rightarrow x+y,x+z,y+z\) là số chẵn\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)\) là số chẵn\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)\ne2017^n\Rightarrow\)TH2 vô lí
TH3: \(x\) là số lẻ, \(y\) và \(z\) là số chẵn
\(\Rightarrow x+y,x+z\) là số lẻ và \(y+z\) là số chẵn\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)\) là số chẵn\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)\ne2017^n\Rightarrow\)TH3 vô lí
TH4: \(x\) và \(y\) là số lẻ, \(z\) là số chẵn
\(\Rightarrow x+y\) là số chẵn và \(x+z,y+z\) là số lẻ\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)\) là số chẵn\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)\ne2017^n\Rightarrow\)TH4 vô lí
TH5: \(x\) là số chẵn, \(y\) và \(z\) là số lẻ
\(\Rightarrow x+y,x+z\) là số lẻ và \(y+z\) là số chẵn\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)\) là số chẵn \(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)\ne2017^n\Rightarrow\)TH5 vô lí
TH6: \(x\) và \(y\) là số chẵn, \(z\) là số lẻ
\(\Rightarrow x+y\) là số chẵn và \(x+z,y+z\) là số lẻ\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)\) là số chẵn\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)\ne2017^n\Rightarrow\)TH6 vô lí
Vì không trường hợp nào thỏa mãn yêu cầu đề bài\(\Rightarrow\)không tồn tại \(\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)=2017^n\)
bon so lien tiep chia het cho 8
A=8k+3
so chinh phuong le chi co dang 8k+1
A ko cp
Vì \(n\in Z^+\)nên\(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)>n^3\Rightarrow\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}>n\)
\(\Rightarrow\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}+...+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}}>n\)(1)
Lại có:\(n^2+2n+1>n^2+2n\Rightarrow\left(n+1\right)^2>n\left(n+2\right)\Rightarrow\left(n+1\right)^3>n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)
\(\Rightarrow n+1>\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\\ \Rightarrow\sqrt[3]{n^3+3n^2+3n+1}>\sqrt[3]{n^3+3n^2+2n}\)
\(\Rightarrow\sqrt[3]{n^3+3n^2+2n+n+1}>\sqrt[3]{n^3+3n^2+2n+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}}\)
\(\Rightarrow\sqrt[3]{\left(n+1\right)^3}>\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}}\)
Tương tự \(\Rightarrow n+1>\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}+...+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}}\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
\(n< \sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}+...+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}}< n+1\)
\(n\in Z^+\)nên n2 < n2 + 2n < n2 + 2n + 1 <=> n2 < n(n + 2) < (n + 1)2 => n3 < n(n + 1)(n + 2) < (n + 1)3
=>\(n< \sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}< n+1\)
=>\(n< \sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}< \sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+n}\)\(< \sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}}< \sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+n+1}\)\(=\sqrt[3]{\left(n+1\right)\left(n^2+2n+1\right)}=\sqrt[3]{\left(n+1\right)\left(n+1\right)^2}=n+1\)
=>\(n< \sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+n}\)
\(< \sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}}}< n+1\)
Tiếp tục như vậy,ta có đpcm.
Ta có: \(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\dfrac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\)
\(=\dfrac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}< \dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}=\dfrac{1}{2\sqrt{n}}\)
\(\Rightarrow2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)< \dfrac{1}{\sqrt{n}}\left(1\right)\)
Ta lại có: \(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}=\dfrac{\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\left(\sqrt{n}+\sqrt{n-1}\right)}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}\)
\(=\dfrac{n-n+1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=\dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}>\dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}=\dfrac{1}{2\sqrt{n}}\)
\(\Rightarrow2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)>\dfrac{1}{\sqrt{n}}\left(2\right)\)
\(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)< \dfrac{1}{\sqrt{n}}< 2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{n}}=\dfrac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}>\dfrac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\dfrac{2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}=2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(1\right)\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{n}}=\dfrac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}< \dfrac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=\dfrac{2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)}{\left(\sqrt{n}+\sqrt{n-1}\right)\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)}=2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\left(2\right)\)
\(\left(1\right)\left(2\right)\RightarrowĐpcm\)
\(n\left(n+2\right)\left(25n^2-1\right)=n\left(n+2\right)24n^2+n\left(n+2\right)\left(n^2-1\right)\)
\(=24n^3\left(n+2\right)+\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)
thành phần 24n3(n+2) chia hết cho 24.
thành phần sau là tích của 4 số tn liên tiếp nên trong 4 số thì phải có 1 số chia hết cho 3, có 2 số chẵn trong đó 1 số chẵn chia hết cho 4 (vì trong 4 số tn liên tiếp thì có 1 số chia hết cho 4) và một số chẵn còn lại chia hết cho 2 vậy tích 4 số chia hết cho 3x4x2=24.
=>(đpcm)
giải hộ cái mấy ai đồ :(