Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Học sinh trên OLM đúng là dốt, chẳng ai làm được bài này....
Ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\Rightarrow a^2-ab+b^2\ge ab\)
Nhân hai vế của phương trình với \(a+b>0\) ta có:
\(\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\ge ab\left(a+b\right)\Leftrightarrow a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)Áp dụng kết quả trên ta có:
\(A=\dfrac{1}{a^3+b^3+1}+\dfrac{1}{b^3+c^3+1}+\dfrac{1}{c^3+a^3+1}\le\)
\(\le\dfrac{1}{ab\left(a+b\right)+abc}+\dfrac{1}{bc\left(b+c\right)+abc}+\dfrac{1}{ca\left(c+a\right)+abc}=\)(vì abc=1)
\(=\dfrac{1}{ab\left(a+b+c\right)}+\dfrac{1}{bc\left(a+b+c\right)}+\dfrac{1}{ca\left(a+b+c\right)}=\dfrac{a+b+c}{abc\left(a+b+c\right)}=1\)
\(a^3+b^3\le a^4+b^4\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\le2\left(a^4+b^4\right)\) ( vì \(a+b\ge2\) )
\(\Leftrightarrow a^4+ab^3+a^3b+b^4\le2a^4+2b^4\)
\(\Leftrightarrow ab^3+a^3b\le a^4+b^4\)
\(\Leftrightarrow\left(a^4-a^3b\right)+\left(b^4-ab^3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^3-b^3\right)\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\) (1)
Ta thấy \(a^2+ab+b^2=\left(a^2+ab+\frac{1}{4}b^2\right)+\frac{3}{4}b^2+\left(a+\frac{1}{2}b\right)^2+\frac{3}{4}b^2\ge0\forall ab\)
Nên (1) luôn đúng với mọi a;b
Vậy \(a^3+b^3\le a^4+b^4\)
Áp dụng bất đăng thức cô si, ta có:
\(A=\sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{a^2}}\)
\(\ge\sqrt{2.\frac{a}{b}}+\sqrt{2.\frac{b}{a}}\)
\(\ge2.\sqrt{\sqrt{2.\frac{a}{b}.2.\frac{b}{a}}}=2\sqrt{2}\)
Dấu " = " xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{1}{b}\\\frac{a}{b}=\frac{b}{a}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=1\)
Nếu a = 1 ; b = 0,5 => a + b = 1,5 < 2 => sai