K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
MM
1
LT
11 tháng 11 2017
x2 +y2 +z2 -2xy-2zx-2yz=(x-y-z)2 -4yz=(x-y-z)2 - \(2.\sqrt{yz^2}\)=\(\left(x-y-z-2\sqrt{yz}\right)+\left(x-y-z+2\sqrt{yz}\right)\)
x2 -2xy - y2 -z2 =(x-y)2 -z2 =(x-y-z)(x-y+z)
VT
1
7 tháng 12 2018
\(\frac{x^2+y^2+z^2-2xy-2yz+2zx}{x^2-2xy+y^2-z^2}=\frac{\left(x-y+z\right)^2}{\left(x-y\right)^2-z^2}=\frac{\left(x-y+z\right)^2}{\left(x-y-z\right)\left(x-y+z\right)}=\frac{x-y+z}{x-y-z}\)
V
1
6 tháng 8 2020
Ta có: \(\frac{x^2}{1+2yz}+\frac{y^2}{1+2zx}+\frac{z^2}{1+2xy}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3+2\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3+2\left(x^2+y^2+z^2\right)}\)
\(=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3+2}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{5}\)
Mà \(\left(x+y+z\right)^2\le3\left(x^2+y^2+z^2\right)=3\)
Nên thay vào ngược dấu
=> ch bt lm
T
6 tháng 8 2020
Nói chung khá đơn giản. Em chứng minh bất đẳng thức sau đây là được.
\(\frac{x^2}{1+2yz}=\frac{x^2}{x^2+\left(y^2+z^2+2yz\right)}=\frac{x^2}{x^2+\left(y+z\right)^2}\ge\frac{1}{25}\cdot\frac{17x^2-y^2-z^2}{x^2+y^2+z^2}\)
Có thể chứng minnh nó bằng cách: \(f\left(x,y,z\right)=\frac{x^2}{x^2+\left(y+z\right)^2}-\frac{1}{25}\cdot\frac{17x^2-y^2-z^2}{x^2+y^2+z^2}\)
Ta chứng minhL \(f\left(x,y,z\right)\ge f\left(x,\frac{y+z}{2},\frac{y+z}{2}\right)\ge0\) (quy đồng phát là ra nhân tử (y-z)^2 nên hiển nhiên:v)
Tương tự cộng lại. Xong.
Cách Cauchy-SChwarz:
Chứng minh theo trình tự: \(\Sigma\frac{x^2}{x^2+\left(y+z\right)^2}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{\Sigma x^2\left[x^2+\left(y+z\right)^2\right]}\ge\frac{3}{5}\)
UK
13 tháng 12 2017
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có:
\(VT\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz}=\dfrac{9}{\left(x+y+z\right)^2}=9\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
8 tháng 12 2021
Ap dụng bất đẳng thức BDT Caucchy Schwarz ta có :
\(\frac{x^2}{x^2+2yz}+\frac{y^2}{y^2+2zx}+\frac{z^2}{z^2+2xy}\)
\(=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+2yz+y^2+2zx+z^2+2xy}\)
\(=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=1\)
20 tháng 7 2020
a) Ta có: \(VT=\left(x-y-z\right)^2\)
\(=\left(x-y-z\right)\left(x-y-z\right)\)
\(=x^2-xy-xz-yx+y^2+yz-zx+zy+z^2\)
\(=x^2+y^2+z^2-2xy+2yz-2xz\)
=VP(đpcm)
b) Ta có: \(VT=\left(x+y-z\right)^2\)
\(=\left(x+y-z\right)\left(x+y-z\right)\)
\(=x^2+xy-xz+yx+y^2-yz-zx-zy+z^2\)
\(=x^2+y^2+z^2+2xy-2yz-2zx\)
=VP(đpcm)
c) Sửa đề: Chứng minh \(\left(x-y\right)\left(x^3+x^2y+xy^2+y^3\right)=x^4-y^4\)
Ta có: \(VT=\left(x-y\right)\left(x^3+x^2y+xy^2+y^3\right)\)
\(=x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3-x^3y-x^2y^2-xy^3-y^4\)
\(=x^4-y^4\)
=VP(đpcm)
d) Ta có: \(VT=\left(x+y\right)\left(x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4\right)\)
\(=x^5-x^4y+x^3y^2-x^2y^3+xy^4+x^4y-x^3y^2+x^2y^3-xy^4+y^5\)
\(=x^5+y^5\)
=VP(đpcm)
20 tháng 7 2020
a, b, nhân vào là ra à
c, nghe cứ là lạ
d, cũng nhân là ra hà
\(=x^5-x^4y+x^3y^2-x^2y^3+xy^4+x^4y-x^3y^2+x^2y^3-xy^4+y^5=x^5+y^5\)
\(\left(x-y-z\right)^2=\left[\left(x-y\right)-z\right]^2\)
\(=\left(x-y\right)^2-2z\left(x-y\right)+z^2\)
\(=x^2-2xy+y^2-2xz+2yz+z^2\)
\(=x^2+y^2+z^2-2xy+2yz-2xz\)\(\left(đpcm\right)\)
thanks