Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có
\(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}}{n\left(n+1\right)}=\sqrt{n}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\)=\(\sqrt{n}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
\(=\left(1+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}\right)\left(1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)< 2\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
nên \(\frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+.....+\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}\)\(< 2\left(\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)+...+\left(3\sqrt{2}-2\right)+\left(2-1\right)\right)\) = 2
a) Bất đẳng thức đúng khi a = b = 2c
do đó \(\sqrt{c\left(2c-c\right)}+\sqrt{c\left(2c-c\right)}\le n\sqrt{2c.2c}\Leftrightarrow n\ge1\)
xảy ra khi n = 1
Thật vậy, ta có :
\(\sqrt{\frac{c}{b}.\frac{a-c}{a}}+\sqrt{\frac{c}{a}.\frac{b-c}{b}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{c}{b}+\frac{a-c}{a}+\frac{c}{a}+\frac{b-c}{b}\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}\le\sqrt{ab}\)
Vậy n nhỏ nhất là 1
b) Ta có : a + b = \(\sqrt{\left(a+b\right)^2}\le\sqrt{\left(a+b\right)^2+\left(a-b\right)^2}=\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\)
Áp dụng, ta được : \(\sqrt{1}+\sqrt{n}\le\sqrt{2\left(n+1\right)},\sqrt{2}+\sqrt{n-1}\le\sqrt{2\left(1+n\right)},...\)
\(\sqrt{n}+\sqrt{1}\le\sqrt{2\left(1+n\right)};\sqrt{n-1}+\sqrt{2}\le\sqrt{2\left(1+n\right)},...\)
\(\sqrt{1}+\sqrt{n}\le\sqrt{2\left(1+n\right)}\)
do đó : \(4\left(\sqrt{1}+\sqrt{2}+...+\sqrt{n}\right)\le2n\sqrt{2\left(1+n\right)}\)
\(\Rightarrow\sqrt{1}+\sqrt{2}+...+\sqrt{n}\le n\sqrt{\frac{n+1}{2}}\)
ta thấy \(\frac{1}{\sqrt{1}}>\frac{1}{\sqrt{2}}>...>\frac{1}{\sqrt{n}}\)nên \(\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}\)>\(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}\)=\(\frac{n}{\sqrt{n}}=\sqrt{n}\)
với mọi k thuộc N ta luôn có
\(\frac{1}{\sqrt{k}}=\frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k}}< \frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}\)=\(\frac{2\left(\sqrt{k}-\sqrt{k-1}\right)}{k-k+1}=2\left(\sqrt{k}-\sqrt{k-1}\right)\)
áp dụng tính chất này ta có
\(\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}\)<2(\(\sqrt{1}-\sqrt{0}+\sqrt{2}-\sqrt{1}\)+...+\(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\))=\(2\left(\sqrt{n}-\sqrt{0}\right)=2\sqrt{n}\)
BĐT đúng với n=2
giả sử BĐT đúng với n=k , tức là: \(\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\sqrt{k}< k\sqrt{\frac{k+1}{2}}\)
Ta phải chứng minh BĐT đúng vớới n=k+1:
\(\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\sqrt{k}+\sqrt{k+1}< \left(k+1\right)\sqrt{\frac{k+2}{2}}\)
Ta thấy: \(\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\sqrt{k}+\sqrt{k+1}< k\sqrt{\frac{k+1}{2}}+\sqrt{k+1}\)
Mà: \(k\sqrt{\frac{k+1}{2}}+\sqrt{k+1}< \left(k+1\right)\sqrt{\frac{k+2}{2}}\)(*)
Thậy vậy: (*)\(\Leftrightarrow\sqrt{k+1}\left(\frac{k}{\sqrt{2}}+1\right)< \left(k+1\right)\sqrt{\frac{k+2}{2}}\Leftrightarrow\frac{k}{\sqrt{2}}+1< \sqrt{k+1}\sqrt{\frac{k+2}{2}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{k+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}< \sqrt{k+1}\frac{\sqrt{k+2}}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow k^2+2\sqrt{2k}+2< k^2+3k+2\)(luôn đúng)
Suy ra: \(\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\sqrt{k}+\sqrt{k+1}< \left(k+1\right)\sqrt{\frac{k+2}{2}}\)
hay \(\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...\sqrt{n}< n\sqrt{\frac{n+1}{2}}\)
a/ Nhân cả tử và mẫu của từng phân số với liên hợp của nó và rút gọn:
\(VT=\sqrt{a+3}-\sqrt{a+2}+\sqrt{a+2}-\sqrt{a+1}+\sqrt{a+1}-\sqrt{a}\)
\(=\sqrt{a+3}-\sqrt{a}=\frac{3}{\sqrt{a+3}+\sqrt{a}}\)
b/ \(VT=\frac{x}{x\left(x+y+z\right)+yz}+\frac{y}{y\left(x+y+z\right)+zx}+\frac{z}{z\left(x+y+z\right)+xy}\)
\(=\frac{x}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{y}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}+\frac{z}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}\)
\(=\frac{x\left(y+z\right)+y\left(x+z\right)+z\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}=\frac{2\left(xy+yz+zx\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\) (1)
Mặt khác ta có: \(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge\frac{8}{9}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\)
Thật vậy, \(\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)=\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)+xyz\)
Mà \(xyz\le\frac{1}{9}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\) (theo AM-GM)
\(\Rightarrow\frac{8}{9}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\le\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\) (đpcm)
Thay vào (1) \(\Rightarrow VT\le\frac{2\left(xy+yz+zx\right)}{\frac{8}{9}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{9}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp :
Dễ thấy BĐT đúng với n = 1,2
Giả sử BĐT đúng với n = k (k là số tự nhiên) , tức \(\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\sqrt{k}\le k\sqrt{\frac{k+1}{2}}\)
Ta sẽ chứng minh BĐT cũng đúng với n = k+1 , tức là \(\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\sqrt{k+1}\le\left(k+1\right)\sqrt{\frac{k+2}{2}}\)
Ta có : \(\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\sqrt{k}+\sqrt{k+1}\le k\sqrt{\frac{k+1}{2}}+\sqrt{k+1}\)
Cần chứng minh \(k\sqrt{\frac{k+1}{2}}+\sqrt{k+1}\le\left(k+1\right)\sqrt{\frac{k+2}{2}}\)
Điều này tương đương với \(k\sqrt{k+1}+\sqrt{2}.\sqrt{k+1}\le\left(k+1\right)\sqrt{k+2}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{k+1}\left(\sqrt{k^2+3k+2}-\sqrt{2}-k\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{k^2+3k+2}\ge k+\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{k^2+3k+2}\right)^2\ge\left(k+\sqrt{2}\right)^2\) (Vì k là số tự nhiên)
\(\Leftrightarrow k^2+3k+2\ge k^2+2\sqrt{2}k+2\)
\(\Leftrightarrow3k\ge2\sqrt{2}k\) (luôn đúng)
Vậy giả thiết quy nạp đúng.
Ta có điều phải chứng minh.
Ngoài cách của Hoàng Lê Bảo Ngọc, mình sẽ giải cho bạn cách khác
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiakopski:
\(\left(x_1+x_2+x_3+...+x_n\right)^2\le n\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2+...+x_n^2\right)\)
Suy ra ta có:
\(\left(\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\sqrt{n}\right)^2\le n.\left(1+2+3+...+n\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\sqrt{n}\right)^2\le n.\frac{n\left(n+1\right)}{2}\)
Do đó:
\(\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\sqrt{n}\le\sqrt{\frac{n^2\left(n+1\right)}{2}}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\sqrt{n}\le n.\sqrt{\frac{n+1}{2}}\)(đpcm)