Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\Delta_1'=b^2-ac\) ; \(\Delta_2'=c^2-ab\) ; \(\Delta_3'=a^2-bc\)
\(\Rightarrow\Delta_1'+\Delta_2'+\Delta_3'=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(a-b\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(b-c\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(c-a\right)^2\ge0\) ; \(\forall a;b;c\)
\(\Rightarrow\) Tồn tại ít nhất 1 trong 3 giá trị \(\Delta_1';\Delta_2';\Delta_3'\) không âm
\(\Rightarrow\) Ít nhất 1 trong 3 pt nói trên có nghiệm
* Giả sử cả 3 pt đều có nghiệm kép hoặc vô nghiệm ta có :
pt \(x^2-2ax+b=0\) (1) có \(\Delta_1'=\left(-a\right)^2-b=a^2-b\le0\)
pt \(x^2-2bx+c=0\) (2) có \(\Delta_2'=\left(-b\right)^2-c=b^2-c\le0\)
pt \(x^2-2cx+a=0\) (3) có \(\Delta_3'=\left(-c\right)^2-a=c^2-a\le0\)
\(\Rightarrow\)\(\Delta_1'+\Delta_2'+\Delta_3'=\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(a+b+c\right)\le0\) (*)
Lại có : \(0< a,b,c< 3\)\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}a\left(3-a\right)>0\\b\left(3-b\right)>0\\c\left(3-c\right)>0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3a>a^2\\3b>b^2\\3c>c^2\end{cases}}}\)
\(\Rightarrow\)\(\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(a+b+c\right)< 3\left(a+b+c\right)-\left(a+b+c\right)=2\left(a+b+c\right)=6>0\)
trái với (*)
Vậy có ít nhất một phương trình có hai nghiệm phân biệt
cái kia chưa bt làm -_-
Xét pt (1) có \(\Delta'_1=a^2-bc\)
Xét pt (2) có \(\Delta'_2=b^2-ac\)
Xét pt (3) có \(\Delta'_3=c^2-ab\)
Có \(\Delta'_1+\Delta'_2+\Delta'_3=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\)
\(\Rightarrow2\left(\Delta'_1+\Delta'_2+\Delta'_3\right)=2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\)
\(=\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow\Delta_1'+\Delta_2'+\Delta_3'\ge0\)
Nên tồn tại ít nhất một trong 3 delta phải lớn hơn hoặc bằng 0
=> Tồn tại ít nhất một trong 3 pt đã cho có nghiệm
Vậy ...........
Câu hỏi của Trần Hà My - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Bạn tham khảo link này nhé!
Ta có: \(\Delta1=\left(2b\right)^2-4ac=4b^2-4ac\)
\(\Delta2=\left(2c\right)^2-4ab=4c^2-4ab\)
\(\Delta3=\left(2a\right)^2-4bc=4a^2-4bc\)
\(\Rightarrow\Delta=\Delta1+\Delta2+\Delta3=4b^2-4ac+4c^2-4ab+4a^2-4bc\)
\(=2\left(2b^2-2ac+2c^2-2ab+2a^2-2bc\right)\)
\(=2\left(a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2\right)\)
\(=2\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]\ge0\)
Vậy với mọi a,b,c thì ít nhất một trong các pt sau có nghiệm
ax^2 + 2bx + c = 0 (1)
bx^2 + 2cx + a = 0 (2)
cx^2 + 2ax + b = 0 (3)
Xét:
Δ1 = b² - ac
Δ2 = c² - ab
Δ3 = a² - bc
ta có 2(Δ1+ Δ2 + Δ3)
= 2(b² - ac) + (c² - ab) + (a² - bc)
= (a² - 2ab + b² ) + (b² - 2bc + c²) + (c² - 2ac + a²)
= (a - b)² + (b - c)² + (a - c)² ≥ 0
=> Δ1+ Δ2 + Δ3 ≥ 0
=> trong 3Δ: Δ1;Δ2; Δ3 phải có ít nhất 1Δ ≥ 0
Vậy ít nhất 1phương trình có nghiệm => đpcm