Question

[o0o nhật kiếm o0o]

CMR : Từ 52 số nguyê bất kì luôn có thể chọn ra 2 số mà tổng hoặc hiệu chia hết cho 100

Answer 1

[Không cân biết tên]

Nếu có $2$ số cùng số dư khi chia cho $100$ ta có dpcm. Giả sử không có $2$ số nào cùng số dư khi chia cho $100$. Khi đó có ít nhất $51$ số khi chia cho $100$ có số dư khác $50$ là $a_1,a_2,...,a_{51}$

đặt $b_i=-a_i(1\le i\le 51)$. Xét $102$ số $a_i$ và $b_i$. Theo $Dirichlet$ thì tồn tại $i\ne j$ sao cho $a_i\equiv b_j\left(mod100\right)$. Suy ra $100|(a_i+aj)$

Answer 2

[Không cân biết tên]

Chia 52 số nguyên tùy ý cho 100, ta có thể có các số dư từ 0, 1, 2, …, 99. Ta phân các số dư thành các nhóm sau: {0}; {1, 99}; …, {49, 51}, {50}. Ta có tất cả 51 nhóm và khi chia 52 số cho 100 ta có 52 số dư. Theo nguyên lí Dirichlet sẽ có 2 số dư cùng thuộc một nhóm. Ta có hai trường hợp:Trường hợp 1: Hai số dư giống nhau, suy ra hiệu hai số có hai số dư tương ứng đó sẽ chia hết cho 100Trường hợp 2: Hai số dư khác nhau, suy ra tổng của hai số có hai số dư tương ứng đó sẽ chia hết cho 100