Question

[Chuột yêu Gạo]

CMR: Nếu một tứ giác lồi có đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh đối diện bằng nửa tổng độ dài hai cạnh còn lại thì tứ giác đó là hình thang.

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

Giả sử ta có tứ giác BADC có E,G,F lần lượt là trung điểm của AD,AC,BC

Theo đề, tacó: EF=(AB+CD)/2

Xét ΔADC có

E là trung điểm của AD
G là trung điểm của AC

Do đó: EG là đường trung bình

=>EG//DC và EG=DC/2

Xét ΔBCA có

G là trung điểm của AC

F là trung điểm của BC

Do đó: GF là đường trung bình

=>GF//AB và GF=AB/2

EF=(AB+CD)/2

=>GF+GE=EF

=>E,G,F thẳng hàng

=>AB//CD

=>ABCD là hình thang