Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
bạn thi hsg ak bài nay dễ mak
có 4m^2+m=5n^2+n
<=>m-n+5m^2-5n^2=m^2
<=>(m-n)(5m+5n+1)=m^2 (1)
gọi ƯCLN(m-n;5m+5n+1)=d ta c/m d=1
có m-n chia hết d; m,n là các số tự nhiên
<=>5m-5n chia hết d
và có 5m+5n+1 chia hết d
=>10m+1 chia hết d (2)
(1)=> m^2 chia hết cho d
=>m chia hết d (m là số tự nhiên)
=>10m chia hết cho d (3)
từ (2),(3)=>1 chia hết cho d
=>d =1 (4)
từ (1),(4)=>đpcm.
bài này phải áp dụng kiến thức lớp 6 vào .
4m2 + m = 5n2 + n <=> (5m2 - 5n2) + (m - n) = m2 <=> 5.(m - n).(m + n) + (m - n) = m2
<=> (m - n).(5m + 5n + 1) = m2 (1)
Gọi d = ƯCLN (m- n; 5m + 5n + 1)
=> m - n chia hết cho d và 5m + 5n+ 1 chia hết cho d
=> m2 = (m - n).(5m + 5n + 1) chia hết cho d2
=> m chia hết cho d
lại có: 5.(m - n) + (5m + 5n + 1) = 10m + 1 chia hết cho d
10m chia hết cho d nên 1 chia hết cho d
=> m - n và 5m + 5n + 1 nguyên tố cùng nhau (2)
Từ (1)(2) => m - n; 5m + 5n + 1 đều là số chính phương
Ta có:
4m2 + m
= 5n2 + n
<=> (5m2 - 5n2) + (m - n) = m2
<=> 5.(m - n).(m + n) + (m - n) = m2
<=> (m - n).(5m + 5n + 1) = m2 (*)
Gọi d = ƯCLN (m- n; 5m + 5n + 1)
=> m - n chia hết cho d và 5m + 5n+ 1 chia hết cho d
=> m2 = (m - n).(5m + 5n + 1) chia hết cho d2
=> m chia hết cho d
Ta lại có: 5.(m - n) + (5m + 5n + 1) = 10m + 1 chia hết cho d
10m chia hết cho d nên 1 chia hết cho d
=> m - n và 5m + 5n + 1 nguyên tố cùng nhau (**)
Từ (*)(**) => m - n; 5m + 5n + 1 đều là số chính phương
hok tốt
4m2+m=5m2+n suy ra m= 5m2+n-4m2= m2+n
ta có m-n
m2+n -n=m2 là một số chính phương
Ta có :
\(4m^2+m=5n^2+n\)
\(\Leftrightarrow5m^2+m=5n^2+n+m^2\)
\(\Leftrightarrow5\left(m^2-n^2\right)+\left(m-n\right)=m^2\)
\(\Leftrightarrow\left(m-n\right)\left(5m+5n+1\right)=m^2\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}m-n⋮d\\5m+5n+1⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}m^2=\left(m-n\right)\left(5m+5n+1\right)⋮d^2\\5\left(m-n\right)\left(5m+5n+1\right)⋮d\end{cases}}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m⋮d\\10m+1⋮d\end{cases}\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1}\)
Vậy \(m-n,5m+5n+1\) nguyên tố cùng nhau . Mà tích của chúng là một số chính phương nên bản thân \(m-n,5m+5n+1\) cũng là số chính phương ( đpcm)
Chúc bạn học tốt !!!
4m2+m=5n2+n
{=}5m2+m=5n2+n+m2
{=}5(m2-n2)+(m-n)=m2
{=}(m-n)(5m+5n+1)=m2
Để giải được bài toán sau thì ta liên tưởng đến một tính chất rất đặc biệt và hữu ích được phát biểu như sau:
\("\) Nếu \(a,b\) là hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau và \(a.b\) là một số chính phương thì \(a\) và \(b\) đều là các số chính phương \("\)
Ta có:
\(4m^2+m=5n^2+n\)
\(\Leftrightarrow\) \(4m^2+m-5n^2-n=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(5m^2-5n^2+m-n=m^2\)
\(\Leftrightarrow\) \(5\left(m^2-n^2\right)+\left(m-n\right)=m^2\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(m-n\right)\left(5m+5n+1\right)=m^2\) \(\left(\text{*}\right)\)
Gọi \(d\) là ước chung lớn nhất của \(m-n\) và \(5m+5n+1\) \(\left(\text{**}\right)\), khi đó:
\(m-n\) chia hết cho \(d\) \(\Rightarrow\) \(5\left(m-n\right)\) chia hết cho \(d\)
\(5m+5n+1\) chia hết cho \(d\)
nên \(\left[\left(5m+5n+1\right)+5\left(m-n\right)\right]\) chia hết cho \(d\)
\(\Leftrightarrow\) \(10m+1\) chia hết cho \(d\) \(\left(1\right)\)
Mặt khác, từ \(\left(\text{*}\right)\), với chú ý cách gọi ở \(\left(\text{**}\right)\), ta suy ra được: \(m^2\) chia hết cho \(d^2\)
Do đó, \(m\) chia hết cho \(d\)
\(\Rightarrow\) \(10m\) chia hết cho \(d\) \(\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\), ta có \(1\) chia hết cho \(d\) \(\Rightarrow\) \(d=1\)
Do đó, \(m-n\) và \(5m+5n+1\) là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau
Kết hợp với \(\left(\text{*}\right)\) và điều mới chứng minh trên, thỏa mãn tất cả các điều kiện cần thiết ở tính chất nêu trên nên ta có đpcm
Vậy, \(m-n\) và \(5m+5n+1\) đều là các số chính phương.
Ta có: \(4m^2+m=5n^2+n\)
\(\Leftrightarrow5n^2-5m^2+n-m=-m^2\)
\(\Leftrightarrow5\left(n-m\right)\left(m+n\right)+\left(n-m\right)=-m^2\)
\(\Leftrightarrow\left(m-n\right)\left(5m+5n+1\right)=m^2\left(1\right)\)
Gọi d là ƯCLN( m-n,5m+5n+1)
ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}5m+5n+1⋮d\\5\left(m-n\right)⋮d\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow5m+5n+1+5\left(m-n\right)=10m+1⋮d\)(2)
Ta cũng có: \(\left(5m+5n+1\right)\left(m-n\right)⋮d\Rightarrow m^2⋮d\Rightarrow m⋮d\)
Vậy có: \(10m⋮d\) cộng với (2) suy ra \(1⋮d\Rightarrow d=1\)(3)
Từ (1) và (3) có tích m-n và 5m+5n+1 là số chính phương và 2 số đều lại số nguyên tố cùng nhau nên có ĐPCM (t/c đặc biệt)