K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 8 2019
Lời giải:
Ta xét các TH sau:
TH1: $n$ chia hết cho $3$: $n=3k$ với $k\in\mathbb{N}$
\(10^n+18n-28=10^{3k}+18.3k-28\)
Ta thấy:
\(10^3\equiv 1\pmod {27}\Rightarrow 10^{3k}\equiv 1^k\equiv 1\pmod {27}\)
\(18.3k=27.2k\equiv 0\pmod {27}\)
\(28\equiv 1\pmod {27}\)
\(\Rightarrow 10^n+18n-28\equiv 1+0-1\equiv 0\pmod {27}(1)\)
TH2: $n$ chia 3 dư $1$: $n=3k+1$ với $k\in\mathbb{N}$
\(10^n+18n-28=10^{3k+1}+18(3k+1)-28=10^{3k}.10+54k-10\)
Ta thấy:
\(10^{3k}\equiv 1\pmod {27} \) (cmt) \(\Rightarrow 10^{3k}.10\equiv 10\pmod {27}\)
\(54k\equiv 0\pmod {27}\)
\(10\equiv 10\pmod {27}\)
\(\Rightarrow 10^n+18n-28\equiv 10-0-10\equiv 0\pmod {27}(2)\)
TH3: $n$ chia 3 dư $2$: $n=3k+2$
\(10^n+18n-28=10^{3k}.100+54k+8\equiv 100+0+8\equiv 0\pmod {27}(3)\)
Từ (1);(2);(3) suy ra $10^n+18n-28$ chia hết cho $27$ với mọi số tự nhiên $n$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
27 tháng 8 2019
Lời giải:
Ta xét các TH sau:
TH1: $n$ chia hết cho $3$: $n=3k$ với $k\in\mathbb{N}$
\(10^n+18n-28=10^{3k}+18.3k-28\)
Ta thấy:
\(10^3\equiv 1\pmod {27}\Rightarrow 10^{3k}\equiv 1^k\equiv 1\pmod {27}\)
\(18.3k=27.2k\equiv 0\pmod {27}\)
\(28\equiv 1\pmod {27}\)
\(\Rightarrow 10^n+18n-28\equiv 1+0-1\equiv 0\pmod {27}(1)\)
TH2: $n$ chia 3 dư $1$: $n=3k+1$ với $k\in\mathbb{N}$
\(10^n+18n-28=10^{3k+1}+18(3k+1)-28=10^{3k}.10+54k-10\)
Ta thấy:
\(10^{3k}\equiv 1\pmod {27} \) (cmt) \(\Rightarrow 10^{3k}.10\equiv 10\pmod {27}\)
\(54k\equiv 0\pmod {27}\)
\(10\equiv 10\pmod {27}\)
\(\Rightarrow 10^n+18n-28\equiv 10-0-10\equiv 0\pmod {27}(2)\)
TH3: $n$ chia 3 dư $2$: $n=3k+2$
\(10^n+18n-28=10^{3k}.100+54k+8\equiv 100+0+8\equiv 0\pmod {27}(3)\)
Từ (1);(2);(3) suy ra $10^n+18n-28$ chia hết cho $27$ với mọi số tự nhiên $n$
4 tháng 5 2018
Ta có:\(n^5-n=n\left(n^4-1\right)=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)\)
\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2-4+5\right)\)
\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)
Do 5n(n-1)(n+1) có dạng 5k. Do đó chia hết cho 5.
Lại có: n ; n-1 ; n+1 là 3 số tự nhiên liên tiếp nên tích chúng sẽ tồn tại thưa số chia hết cho 3, chia hết cho 2.
Do đó5n(n-1)(n+1) \(⋮30\)
Mặt khác: n(n-1)(n+1)(n-2(n+2) là tích 5 số tự nhiên liên tiêp, do đó tích của chúng có tồn tại 1 thừa số chi hết cho, 5, một thwuaf số chia hết cho 3, một thưa só chia hét cho 2.
Do đó n5-n chia hết cho 30
4 tháng 5 2018
\(A=n^4-10n^2+9=n^4-n^2-9n^2+9=\left(n^2-1\right)\left(n^2-9\right)=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-3\right)\left(n+3\right)\)
Đặt n = 2k+1 Thay vào A có: \(2k\left(2k+2\right)\left(2k-2\right)\left(2k+4\right)=16k\left(k-1\right)\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)
=> \(A⋮16\)
Lại có k;k-1;k=1;k=2 là 3 số nguyên liên tiếp do đó tích chung số chia hét cho 2,3,4(3 số nguyên tố cùng nhau). Nên A chia hết 24
=> A\(A⋮384\)
KC
1
DH
29 tháng 8 2019
Chứng minh A= 10 ^n + 18n - 1 chia hết cho 27
Ta có: 10^n + 18n - 1 = (10^n - 1) + 18n = 99...9 + 18n (số 99...9 có n chữ số 9)
= 9(11...1 + 2n) (số 11...1 có n chữ số 1) = 9.A
Xét biểu thức trong ngoặc A = 11...1 + 2n = 11...1 - n + 3n (số 11...1 có n chữ số 1).
Ta đã biết một số tự nhiên và tổng các chữ số của nó sẽ có cùng số dư trong phép chia cho 3. Số 11...1 (n chữ số 1) có tổng các chữ số là 1 + 1 + ... + 1 = n (vì có n chữ số 1).
=> 11...1 (n chữ số 1) và n có cùng số dư trong phép chia cho 3 => 11...1 (n chữ số 1) - n chia hết cho 3 => A chia hết cho 3 => 9.A chia hết cho 27 hay 10^n + 18n - 1 chia hết cho 27 (đpcm)