Question

[Buì Thu Thuỷ]

CMR :\(A=\frac{2!}{3!}+\frac{2!}{4!}+\frac{2!}{5!}+...+\frac{2!}{n!}< 1\)

Answer 1

[Phùng Minh Quân]

Bạn tham khảo nhé, nếu có sai chỗ nào thì bạn sửa giùm mình 

Ta có : 

\(A=\frac{2!}{3!}+\frac{2!}{4!}+\frac{2!}{5!}+...+\frac{2!}{n!}\)

\(A=2!\left(\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}+...+\frac{1}{n!}\right)< 2!\left(\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n}\right)\)

\(A< 2\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)\)

\(A< 2\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{n}\right)\)

\(A< 1-\frac{2}{n}=\frac{n}{n}-\frac{2}{n}=\frac{n-2}{n}< 1\) ( tử bé hơn mẫu ) 

Vậy \(A< 1\)

Chúc bạn học tốt ~