Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Với a > 0, b > 0 ta có:
a < b ⇒ a.a < a.b ⇒ a 2 < ab (1)
a < b ⇒ a.b < b.b ⇒ ab < b 2 (2)
a)Có \(a^2+1\ge2a\) với mọi a; \(b^2+1\ge2b\) với mọi b
Cộng vế với vế \(\Rightarrow a^2+b^2+2\ge2\left(a+b\right)\)
Dấu = xảy ra <=> a=b=1
b) Áp dụng BĐT bunhiacopxki có:
\(\left(x+y\right)^2\le\left(1+1\right)\left(x^2+y^2\right)\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\le2\)
\(\Leftrightarrow-\sqrt{2}\le x+y\le\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)_{max}=\sqrt{2}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=\sqrt{2}\\x=y\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\left(x+y\right)_{min}=-\sqrt{2}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=-\sqrt{2}\\x=y\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
c) \(S=\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{a^2+b^2}=\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}+\dfrac{1}{2ab}\)
Với x,y>0, ta có: \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\) (1)
Thật vậy (1) \(\Leftrightarrow\dfrac{y+x}{xy}\ge\dfrac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (lđ)
Áp dụng (1) vào S ta được:
\(S\ge\dfrac{4}{a^2+b^2+2ab}+\dfrac{1}{2ab}\)
Lại có: \(ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\) \(\Leftrightarrow2ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\Leftrightarrow2ab\le\dfrac{1}{2}\)\(\Rightarrow\dfrac{1}{2ab}\ge2\)
\(\Rightarrow S\ge\dfrac{4}{\left(a+b\right)^2}+2=6\)
\(\Rightarrow S_{min}=6\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)
Biến đổi vế trái ta có:
VT = (a + b)( a 2 – ab + b 2 ) + (a – b)( a 2 + ab + b 2 )
= a 3 + b 3 + a 3 – b 3 = 2 a 3 = VP
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
\(ab+bc+ca=0\)
=> \(\frac{ab+bc+ca}{abc}=0\)
=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)
Đặt: \(\frac{1}{a}=x;\)\(\frac{1}{b}=y;\)\(\frac{1}{c}=z\)
Ta có: \(x+y+z=0\)
=> \(x^3+y^3+z^3=3xyz\) (tự c/m, ko c/m đc ib)
hay \(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{3}{abc}\)
\(B=\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}+\frac{ab}{c^2}=\frac{abc}{a^3}+\frac{abc}{b^3}+\frac{abc}{c^3}=abc.\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\right)\)
\(=abc.\frac{3}{abc}=3\)
\(P=\dfrac{4}{a^2+b^2}+\dfrac{3}{ab}\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
\(\left(\dfrac{4}{a^2+b^2}+\dfrac{3}{ab}\right)\left[4\left(a^2+b^2\right)+12ab\right]\ge\left[\sqrt{\dfrac{4}{a^2+b^2}.4\left(a^2+b^2\right)}+\sqrt{\dfrac{3}{ab}.12ab}\right]^2=100\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{100}{4\left(a^2+b^2\right)+12ab}=\dfrac{100}{4\left(a+b\right)^2+4ab}=\dfrac{25}{\left(a+b\right)^2+ab}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{25}{4^2+ab}=\dfrac{25}{16+ab}\) (vì \(a+b\le4\)).
Mặt khác ta có: \(ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\le\dfrac{4^2}{4}=4\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{25}{16+4}=\dfrac{5}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=2\).
Vậy \(MinP=\dfrac{5}{4}\), đạt tại \(a=b=2\)
1/2×2(a^2+b^2-ab+a+b+2)=1/2(2a^2+2b^2-2ab+2a+2b+4)=1/2[(a-b)^2+(b+1)^2+(a+1)^2+2]>0