Question

[ttt]

C/m \(\forall x,y,z\) thì giá trị đa thức \(A=xy+yz+zx\) không vượt quá giá trị đa thức  \(B=x^2+y^2+z^2\)

Answer 1

[Phạm Nguyên Khang]

Ta phải chứng minh:

x²+y²+z²>=xy+yz+xz

Thật vậy, giả sử điều trên là đúng:

x²+y²+z²>=xy+yz+xz

<==>x²+y²+z²-xy-yz-xz>=0

Nhân 2 vào cả 2 vế, thu được:

2x²+2y²+2z²-2xy-2yz-2xz>=0

<==>x²-2xy+y²+y²-2yz+z²+z²-2xz+x²>=0

<==>(x-y)²+(y-z)²+(z-x)²>=0(điều đúng)

Vậy x²+y²+z²>=xy+yz+xz(dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x=y=z)

Hay với mọi x,y,z thì giá trị của xy+yz+xz không vượt quá x²+y²+z²