Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(VT=\dfrac{1}{5}\left(\dfrac{5}{1\cdot6}+\dfrac{5}{6\cdot11}+...+\dfrac{5}{\left(5n+1\right)\left(5n+6\right)}\right)\)
\(=\dfrac{1}{5}\left(1-\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{11}+\dfrac{1}{11}-...+\dfrac{1}{5n+1}-\dfrac{1}{5n+6}\right)\)
\(=\dfrac{1}{5}\left(1-\dfrac{1}{5n+6}\right)\)
\(=\dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{5n+6-1}{5n+6}\)
\(=\dfrac{n+1}{5n+6}=VP\)
ta có \(\left(7^n+1\right).\left(7^n+2\right)\)
\(\Rightarrow7^n.\left(1+2\right)=7^n.3\)
\(\Rightarrow7^n.3\) chia hết cho 3
Ta có: \(\frac{5n+2}{\left(3n+1\right)\left(2n+1\right)}=\frac{5n+2}{6n^2+5n+1}\)
Giả sử d là ước chung lớn nhất của \(\left(5n+2\right);\left(6n^2+5n+1\right)\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}6.\left(5n+2\right)^2⋮d\\25.\left(6n^2+5n+1\right)⋮d\end{cases}}\)
\(\Rightarrow25\left(6n^2+5n+1\right)-6\left(5n+2\right)^2⋮d\)
\(\Rightarrow5n+1⋮d\)
\(\Rightarrow\left(5n+2\right)-\left(5n+1\right)=1⋮d\)
\(\Rightarrow d=1\)
Vậy \(\frac{5n+2}{\left(3n+1\right)\left(2n+1\right)}\)là phân số tối giản
Gọi d = (5n + 3 ; 3n + 2) (d thuộc N)
=> (5n + 3) chia hết cho d và (3n + 2) chia hết cho d
=> 5.(3n + 2) - 3.(5n + 3) chia hết cho d
=> 1 chia hết cho d
=> d = 1 (vì d thuộc N)
=> ƯCLN(5n + 3 ; 3n + 2) = 1
=> Phân số 5n+3/3n+2 tối giản với mọi n thuộc N
Giả sử phân số trên chưa tối giản
=> Tồn tại một số nguyên tố d để : \(5n+2⋮d\) và \(\left(3n+1\right)\left(2n+1\right)⋮d\)
+) \(\left(3n+1\right)\left(2n+1\right)⋮d\)
Mà : d nguyên tố
=> \(3n+1⋮d\) hay \(2n+1⋮d\)
+) Nếu : \(3n+1⋮d\)
\(5\in N\Rightarrow5\left(3n+1\right)⋮d\Rightarrow15n+5⋮d\)
\(5n+2⋮d\) ; \(3\in N\Rightarrow3\left(5n+2\right)⋮d\Rightarrow15n+6⋮d\)
\(\Rightarrow\left(15n+6\right)-\left(15n+5\right)⋮d\)
\(\Rightarrow15n+6-15n-5⋮d\Rightarrow1⋮d\)
d là ước của 1 \(\Rightarrow d\in\left\{-1;1\right\}\) ( Vô lý vì d nguyên tố )
=> loại
+) Nếu \(2n+1⋮d\)
\(5\in N\Rightarrow5\left(2n+1\right)⋮d\Rightarrow10n+5⋮d\)
\(5n+2⋮d;2\in N\Rightarrow2\left(5n+2\right)⋮d\Rightarrow10n+4⋮d\)
\(\Rightarrow\left(10n+5\right)-\left(10n+4\right)⋮d\)
\(\Rightarrow10n+5-10n-4⋮d\Rightarrow1⋮d\)
d là ước của 1 \(\Rightarrow d\in\left\{-1;1\right\}\) ( Vô lý vì d nguyên tố )
=> loại => Giả sử sai
Để cm phân số bất kì tối giản thì chúng ta hãy cm rằng tử và mẫu cua chúng có UCLN là \(\pm\)1 .
Gọi d là UC( 5n+2;(3n+1)(2n+1)).
\(5n+2⋮d\) và\(\left(3n+1\right)\left(2n+1\right)⋮d\)
mà d là snt nên \(3n+1⋮d\) hoặc \(2n+1⋮d\)
\(\Leftrightarrow\)\(3\left(5n+2\right)⋮d\)và \(5\left(3n+1\right)⋮d\)
\(\Leftrightarrow\)\(15n+6⋮d\)và \(15n+5⋮d\)
\(\Leftrightarrow15n+6-\left(15n+5\right)⋮d\)
\(\Leftrightarrow d\in U\left(1\right)\)\(=\left\{\pm1\right\}\)
Vậy phân số đã cho tối giản.
Chúc bạn học tốt !!!
2:
\(B=3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n\)
\(=3^n\cdot9+3^n-2^n\cdot4-2^n\)
\(=3^n\cdot10-2^n\cdot5\)
\(=3^n\cdot10-2^{n-1}\cdot10⋮10\)
ta thấy 4n+6 luôn chia hết cho 2 mà số chia hết cho2 nhân với số nào cũng chia hết cho 2 nên tích chia hết cho 2
ta có : \(\left(5n+7\right)\left(4n+6\right)=20n^2+30n+28n+42\)
\(=20n^2+58n+42=2\left(10n^2+29n+21\right)⋮2\) với mọi \(n\in N\)
vậy \(\left(5n+7\right)\left(4n+6\right)⋮2với\forall n\in N\)