Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2-4c\left(a+b\right)-4a\left(b+c\right)-4b\left(a+c\right)\)
\(\Leftrightarrow-4c\left(a+b\right)-4b\left(a+c\right)-4a\left(b+c\right)=2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac-2a^2-2b^2-2c^2-2ac-2bc-2ab\)
\(\Leftrightarrow-4\left(ac+bc+ab+bc+ab+ac\right)=-4ab-4bc-4ac\)
\(\Leftrightarrow-4\left(2ab+2bc+2ac\right)+4\left(ab+bc+ac\right)=0\)
\(\Leftrightarrow-4\left(2ab+2bc+2ac-ab-ac-bc\right)=0\)
=>ab+bc+ac=0
=>a=b=c
Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2 - a4 - b4 - c4 > 0
Hai BĐT đều có dấu "=" xảy ra
a/ \(\Leftrightarrow x^7-x^4y^3+y^7-x^3y^4\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^4\left(x^3-y^3\right)-y^4\left(x^3-y^3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^4-y^4\right)\left(x^3-y^3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y\)
b/ Áp dụng câu a:
\(VT\le\sum\frac{a^2b^2}{a^3b^3\left(a+b\right)+a^2b^2}=\sum\frac{1}{ab\left(a+b\right)+1}=\sum\frac{abc}{ab\left(a+b\right)+abc}=\sum\frac{c}{a+b+c}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Do \(a,b< 1\Rightarrow a^3< a^2< a< 1;b^3< b^2< b< 1\)Ta có:\(\left(1-a^2\right)\left(1-b\right)>0\Rightarrow1+a^2b>a^2b\)
\(\Rightarrow1+a^2b>a^3+b^3haya^3+b^3< 1+a^2b\)Tương tự \(b^3+c^3< 1+b^2c;c^3+a^3< 1+c^2a\)
\(\Rightarrow2a^3+2b^3+2c^3< 3+a^2b+b^2c+c^2a\)
Lời giải:
Xét:
\(a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2b^2c^2-2a^2c^2\)
\(=(a^4+b^4+2a^2b^2)+c^4-2c^2(b^2+a^2)-4a^2b^2\)
\(=(a^2+b^2)^2+(c^2)^2-2c^2(a^2+b^2)-(2ab)^2\)
\(=(a^2+b^2-c^2)^2-(2ab)^2=(a^2+b^2-c^2-2ab)(a^2+b^2-c^2+2ab)\)
\(=[(a-b)^2-c^2][(a+b)^2-c^2]\)
\(=(a-b-c)(a-b+c)(a+b-c)(a+b+c)\)
\(\Rightarrow 2a^2b^2+2b^2c^2+2a^2c^2-a^4-b^4-c^4=(b+c-a)(a-b+c)(a+b-c)(a+b+c)\)
Vì $a,b,c$ là 3 cạnh tam giác nên $b+c-a,a-b+c,a+b-c>0$ theo BĐT tam giác. Mặt khác hiển nhiên $a+b+c>0$
Do đó:
\(2a^2b^2+2b^2c^2+2a^2c^2-a^4-b^4-c^4=(b+c-a)(a-b+c)(a+b-c)(a+b+c)>0\)
Ta có đpcm.
đặt a-b = x, b-c = y, c-a = z
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=(a+b-2c)^2+(b+c-2a)^2+(c+a-2b)^2
<=> x^2+y^2+z^2=(y-z)^2+(z-x)^2+(x-y)^2
tới đây suy ra đpcm là đc
Lời giải:
Đặt $a-b=x; b-c=y; c-a=z$ thì $x+y+z=0$
Khi đó. Điều kiện đề tương đương với:
$x^2+y^2+z^2=(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2$
$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=x^2-2xy+y^2+y^2-2yz+z^2+z^2-2xz+x^2$
$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=2(x^2+y^2+z^2)-2(xy+yz+xz)$
$\Leftrightarrow 2(xy+yz+xz)=x^2+y^2+z^2$
$\Leftrightarrow 2(x^2+y^2+z^2)=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)=(x+y+z)^2=0$
$\Rightarrow x=y=z=0$
$\Rightarrow a-b=b-c=c-a=0$
$\Rightarrow a=b=c$