CC
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
BT
0
29 tháng 8 2021
Với n = 1 thì \(x^1\ge2.x^0=0\)
Giả sử đẳng thức đúng với n = k nghĩa là : \(x^k\ge\left(k+1\right).x^{k-1}\).
Ta phải chứng minh :
\(x^n\ge\left(n+1\right).x^{n-1}\)đúng với n = k + 1. Ta phải chứng minh \(x^{k+1}\ge\left[\left(k+1\right)+1\right].x^{\left(k-1\right)+1}=\left(k+2\right).x^k\)
\(=\left(x^k.k+2x^k+1\right)-1=\left(x^k+1\right)^2-1\le x^{k+1}\)
Vậy đẳng thức luôn đúng với mọi \(n\inℕ^∗\)
BT
1
21 tháng 2 2017
Giao lưu:
\(\left\{\begin{matrix}x>-1\\n\in N\\\left(1+x\right)^n\ge\left(1+nx\right)\end{matrix}\right.\)(I)
-khi n=0 ta có 1=1 vẫn đúng => đúng với mọi n là số không âm {sao đề loại n=0 đi nhỉ}
-với x>-1 => 1+x> 0
vói x=0 ta có 1^n>=1 hiển nhiên đúng
{Ta cần c/m với mọi x khác 0 và x>-1}
C/M: Bằng quy nạp
với n=1 ta có: (1+x)>=(1+x) hiển nhiên.
G/s: (I) đúng với n=k tức là (1+x)^k>=(1+kx)
Ta cần c/m (I) đúng với (k+1)
với n=(k+1) ta có \(\left(1+x\right)^{k+1}\ge\left[1+\left(k+1\right)x\right]\)(*)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(1+x\right)^k\ge1+kx+x\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(1+kx\right)\ge1+kx+x\)
\(\Leftrightarrow\left(1+kx\right)+x+kx^2\ge1+kx+x\Leftrightarrow kx^2\ge0\)(**)
Mọi phép biến đổi là tương đương (**) đúng => (*) đúng
=> dpcm.
BT
1
21 tháng 2 2017
Giao lưu:
\(\left\{\begin{matrix}x>-1\\n\in N\\\left(1+x\right)^n\ge1+nx\end{matrix}\right.\) (I)
\(x>-1\Rightarrow\left(1+x\right)>1\Rightarrow\left(1+x\right)^n>1voi\forall n\in N\)
với x=0 1^n>=1 luôn đúng ta cần c/m với x khác 0
\(\left\{\begin{matrix}n=1\Rightarrow\left(1+x\right)^1\ge\left(1+x\right)...\left\{dung\right\}\\n=2\Rightarrow\left(1+x\right)^2\ge\left(1+2x\right)...\left\{dung\right\}\\n=2\Rightarrow\left(1+x\right)^3\ge\left(1+3x\right)...\left\{dung\right\}\end{matrix}\right.\)
C/m bằng phản chứng:
Giả /sủ từ giá trị (k+1) nào đó ta có điều ngược lại (*)
Nghĩa là: khi n đủ lớn BĐT (I) không đúng nữa. và chỉ đúng đến (n=k)(**)
Như vậy coi (**) đúng và ta chứng minh (*) là sai .
với n=k ta có: \(\left(1+x\right)^k\ge\left(1+kx\right)\) (1) theo (*)
vói n=(k+1) ta có theo (**)
\(\left(1+x\right)^{k+1}\le\left[1+\left(k+1\right)x\right]\Leftrightarrow\left(1+x\right)\left(1+x\right)^k\le\left[1+kx+x\right]\)(2)
chia hai vế (2) cho [(1+x)>0 {do x>-1}] BĐT không đổi
\(\left(2\right)\Leftrightarrow\left(1+x\right)^k\le\frac{\left[\left(1+kx\right)+x\right]}{1+x}\) từ (1)=> \(\frac{1+kx+x}{x+1}\ge\left(1+x\right)^k\ge\left(1+kx\right)\)
\(\Rightarrow\frac{\left(1+kx\right)+x}{x+1}\ge\left(1+kx\right)\Leftrightarrow\left(1+kx\right)+x\ge\left(1+kx\right)+x+kx^2\)(3)
\(\left(3\right)\Leftrightarrow\left[\left(1+kx\right)+x\right]-\left[\left(1+kx\right)+x\right]\ge kx^2\)\(\Leftrightarrow0\ge kx^2\) (***)
{(***) đúng chỉ khi x=0 ta đang xét x khác 0} vậy (***) sai => (*) sai
ĐIều giả sử sai--> không tồn tại giá trị (k+1) --> làm BĐT đổi chiều:
=> đpcm
BT
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
9 tháng 1 2017
Lời giải:
Dùng quy nạp:
-Với $n=1$ thì $(1+x)^n=1+x=1+nx$
-Với $n=2$ : có $(1+x)^2=1+2x+x^2\geq 1+2x$ do $x^2\geq 0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$
.......................................
-Giả sử bài toán đúng đến $n=k$, ta cần CM $(1+x)^{k+1}\geq 1+(k+1)x$
Ta có \((1+x)^{k+1}=(1+x)(1+x)^k\geq (1+x)(1+kx)=1+kx+x+kx^2\geq 1+kx+x=1+(k+1)x\) Do đó ta có đpcm
BT
0