LT
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
AA
6
PB
13 tháng 7 2021
ặt x+1=tx+1=t thì t>0t>0 và x=-1+tx=−1+t. Ta có
2x+\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2}=2\left(-1+t\right)+\dfrac{1}{t^2}=-2+t+t+\dfrac{1}{t^2}2x+(x+1)21=2(−1+t)+t21=−2+t+t+t21
\ge-2+3\sqrt[3]{t.t.\dfrac{1}{t^2}}=-2+3=1≥−2+33t.t.t21=−2+3=1
HT
27 tháng 8 2016
Ta có:
\(P=\left(\frac{\sqrt{x}-2}{x-1}-\frac{\sqrt{x}+2}{x+2\sqrt{x}+1}\right).\left(\frac{1-x}{\sqrt{2}}\right)^2\)
\(P=\left(\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)-\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2\left(\sqrt{x}-1\right)}\right).\frac{\left(1-x\right)^2}{2}\)
\(P=\left(\frac{-2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2\left(\sqrt{x}-1\right)}\right).\frac{\left(x-1\right)^2}{2}\)
\(P=\left(\frac{-2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2\left(\sqrt{x}-1\right)}\right).\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)^2\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{2}\)
\(P=\left(-\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x}-1\right)\)
\(P=\sqrt{x}-x\)
b) Để \(P>0\) thì \(\sqrt{x}-x>0\)
- \(\sqrt{x}-x>0\)
\(\Rightarrow\sqrt{x}\left(1-\sqrt{x}\right)>0\)
Suy ra: TH1: \(\sqrt{x}< 0\) và \(1-\sqrt{x}< 0\) (Loại) vì \(\sqrt{x}\ge0\)
TH2:\(\sqrt{x}>0\) và \(1-\sqrt{x}>0\) (Nhận)
Ta có \(\sqrt{x}>0\) và \(1-\sqrt{x}>0\) để \(P>0\)
- \(\sqrt{x}>0\) \(\Rightarrow x>0\)
- \(1-\sqrt{x}>0\) \(\Rightarrow\sqrt{x}< 1\) \(\Rightarrow x< 1\)
Vậy để \(P>0\) thì \(0< x< 1\)
c)\(P=\sqrt{x}-x\)
\(P=-\left(x-\sqrt{x}\right)\)
\(P=-\left(\left(\sqrt{x}\right)^2-2.\frac{1}{2}.\sqrt{x}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\right)\)
\(P=-\left(\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}\right)\)
\(P=-\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\)
Vì \(\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow-\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)^2\le0\)
Nên \(-\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\le\frac{1}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\sqrt{x}-\frac{1}{2}=0\) \(\Rightarrow x=\frac{1}{4}\)
Vậy GTLN của \(P\) là \(\frac{1}{4}\) khi \(x=\frac{1}{4}\)
VK
0
Ta có: \(\frac{x-2}{\sqrt{x-1}+1}\)
\(=\frac{x-1-1}{\sqrt{x-1}+1}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{x-1}-1\right)\left(\sqrt{x-1}+1\right)}{\sqrt{x-1}+1}\)
\(=\sqrt{x-1}-1\)
Ta có: \(\sqrt{x-1}\ge0\forall x\) thỏa mãn ĐKXĐ
\(\Leftrightarrow\sqrt{x-1}-1\ge-1\forall x\) thoả mãn ĐKXĐ
\(\Leftrightarrow\frac{x-2}{\sqrt{x-1}+1}\ge-1\forall x\ge1\)(đpcm)