K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

29 tháng 4 2016

Ta có \(y=\left(m+1\right)x+m\left(m+1\right)+\frac{m^3}{x-m}\) suy ra tiệm cận xiên của \(\left(C_m\right)\) là đường thẳng d có phương trình \(y=\left(m+1\right)x+m\left(m+1\right)\)

Giả sử d luôn tiếp xúc với Parabol (P) : \(y=ax^2+bx+c;\left(a\ne0\right)\) khi đó phương trình sau có nghiệm bội với mọi m :

   \(ax^2+bx+c=\left(m+1\right)x+m\left(m+1\right)\)

\(\Leftrightarrow ax^2+\left(b-m-1\right)x+c-m^2-m=0\)(*)

\(\Leftrightarrow\Delta=\left(m+1-b\right)^2-4a\left(c-m^2-m\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(1+4a\right)m^2+2\left[\left(1-b\right)+2a\right]m+\left(1-b\right)^2-4ac=0\) với mọi m

\(\Leftrightarrow\begin{cases}1+4a=0\\\left(1-b\right)+2a=0\\\left(1-b\right)^2-4ac=0\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}a=-\frac{1}{4}\\b=\frac{1}{2}\\c=-\frac{1}{4}\end{cases}\)

\(\Rightarrow\left(P\right):y=-\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\)

Vậy d luôn tiếp xúc với Parabol (P) \(y=-\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\)

29 tháng 4 2016

Giả sử \(M\left(x_0;y_0\right)\) là điểm mà d không đi qua, khi đó phương trình :

\(y_0=\left(m+1\right)x_0+m^2+m\Leftrightarrow m^2+\left(x_0+1\right)m+x_0-y_0=0\) vô nghiệm với mọi m

                                         \(\Leftrightarrow\Delta=\left(x_0+1\right)^2-4x_0+4y_0< 0\)

                                        \(\Leftrightarrow y_0< -\frac{1}{4}x_0^2+\frac{1}{2}x_0-\frac{1}{4}\)

Ta dễ dàng chứng minh được d luôn tiếp xúc với Parabol

\(\left(P\right):y=-\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\)

29 tháng 4 2016

Giả sử \(\left(C_m\right)\) luôn tiếp xúc với đường thẳng \(y=ax+b\), khi đó phương trình sau có nghiệm với mọi m :

    \(\begin{cases}\frac{\left(3m+1\right)x+m-m^2}{x+m}=ax+b\\\frac{4m^2}{\left(x+m\right)^2}=a\end{cases}\)   \(\Leftrightarrow\begin{cases}3m+1-\frac{4m^2}{x+m}=a\left(x+m\right)am+b\\\frac{4m^2}{\left(x+m\right)^2}=a\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}\frac{8m^2}{x+m}=am+3m+1-b\\\frac{4m^2}{\left(x+m\right)^2}=a\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\frac{\left(am+3m+1-b\right)^2}{16m^2}=a\) với mọi m

\(\Leftrightarrow\left(a^2-10a+9\right)m^2+2\left(a+3\right)\left(1-b\right)m+\left(1-b\right)^2=0\) với mọi m

\(\Leftrightarrow\begin{cases}a^2-10a+9=0\\\left(a+3\right)\left(1-b\right)=0\\\left(1-b\right)^2=0\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}a=1;a=9\\b=1\end{cases}\)

Vậy \(\left(C_m\right)\) luôn tiếp xúc với 2 đường thẳng \(y=x+1;y=9x+1\)

 

28 tháng 4 2016

Điều kiện cần : \(y'=\frac{9}{\left(x-m\right)^2}\)

Nếu có một tiếp tuyến cố định chung cho mọi đồ thị của họ \(\left(C_m\right)\) thì hiển nhiên hệ số góc của tiếp tuyến ấy không đổi

Theo ý nghĩa hình học của đạo hàm thì ắt tồn tại điểm x sao cho y' có góc không phụ thuộc m. Nếu có điều đó xảy ra thì ắt phải xảy ra tại các điểm mà

\(x-m=a\Leftrightarrow x=a+m\) (Với a là hằng số)

Tại \(x=a+m\), ta có \(y'=\frac{-9}{a^2};y=\frac{ma+3a-9}{a}\)

Phương trình tiếp tuyến của \(\left(C_m\right)\) là \(y=\frac{9}{a^2}\left(x-a-m\right)+\frac{ma+3a-9}{a}\)

                                                    \(\Leftrightarrow y=\frac{9}{a^2}\left[\left(9x-18a+3a^2+m\left(a^2-9\right)\right)\right]\) (1)

* Điều kiện đủ : Với \(a^2-9=0\Leftrightarrow a=\pm3\)

Ta có (1) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}y=9\left(x-3\right)\\y=9\left(x+9\right)\end{array}\right.\)

Rõ ràng \(y=9x-27\) và \(y=9x+81\) là các tiếp tuyến cố định của họ đồ thị khi m thay đổi

29 tháng 4 2016

Giả sử \(M\left(x_0;y_0\right)\) là điểm mà họ \(\Delta_{\alpha}\) không đi qua. Khi đó phương trình sau vô nghiệm với mọi m : \(m^2-2\left(x^3_0+x_0\right)m+y_0+x^2_0-x_0-2=0\)

           \(\Leftrightarrow\Delta'=\left(x^3_0+x_0\right)^2-\left(y_0+x^2_0-x_0-2\right)< 0\)

           \(\Leftrightarrow y_0>x^6_0+2x^4_0+x_0+2\)

Xét phương trình : \(2mx^3-x^2+\left(2m+1\right)x-m^2+2=x^6+2x^4+x+2\)

                       \(\Leftrightarrow m^2-2\left(x^3+x\right)m+\left(x^3+x\right)^2=0\)

                       \(\Leftrightarrow\left(x^3+x-m\right)^2=0\) (*)

Vì phương trình \(x^3+x-m=0\) luôn có nghiệm nên (*) luôn có nghiệm bội.

Vậy \(\left(C_m\right)\) luôn tiếp xúc với đường cong \(y=x^6+2x^4+x+2\)

3 tháng 5 2016
CÁch 1: G/s họ đường thằng trên luôn tiếp xúc với parabol cố định: y=ax^2+bx+c \:\:\:(a\neq 0)
Khi đó: ax^2+bx+c=2mx-m^2+2m+2 có nghiệm kép với mọi m
hay ax^2+x(b-2m)+c+m^2-2m-2=0 có nghiệm kép với mọi m
Cách 2: Gọi M(x_o;y_o) là các điểm mà họ đường thẳng trên không đi qua.
Hay y_o=2mx_o-m^2+2m+2 vô nghiệm ẩn m
\Leftrightarrow m^2-2m(x_o+1)+y_o-2=0 vô nghiệm ẩn m
\Leftrightarrow \Delta '=(x_o+1)^2-(y_o-2)0 \\\Leftrightarrow x_o^2+2x_o+3y_o
Xét đường biên: (P)y=x^2+2x+3
Lập phương trình hoành độ giao điểm ta được: (x-m)^2=0
Phương trình này luôn có 1 nghiệm kép nên (dm) luôn tiếp xúc (P)
NV
30 tháng 1 2022

Phương trình \(\left(C_m\right)\) viết lại: 

\(y=\left(x-m+2\right)^3-3\left(x-m+2\right)\)

Họ đồ thị hàm \(\left(C_m\right)\) đơn giản là đồ thị hàm \(y=x^3-3x\) tịnh tiến song song với trục Ox, do đó họ đồ thị này luôn tiếp xúc với các tiếp tuyến tại cực trị của \(y=x^3-3x\) (là hai đường thẳng \(y=\pm2\))

Vậy họ đường cong \(\left(C_m\right)\) luôn tiếp xúc với 2 đường thẳng cố định \(y=\pm2\)

3 tháng 5 2016

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left(\Delta_m\right)\) và \(\left(C_m\right)\) được viết thành :

    \(\left(x+1\right)\left(x^2-3mx+2m^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x-m\right)\left(x-2m\right)=0\)

\(\Rightarrow\) Giao điểm của  \(\left(\Delta_m\right)\) và \(\left(C_m\right)\)  gồm \(A\left(-1;-m-m^2\right);B\left(m;0\right)\) và \(C\left(2m;m^2\right)\), trong số đó, A là điểm duy nhất có hoành độ không đổi (khi m thay đổi)

Đặt \(f_m\left(x\right)=x^3-\left(3m-1\right)x^2+2m\left(m-1\right)x+m^2\)

Các tiếp tuyến của  \(\left(C_m\right)\)  tại B và C lần lượt là các đường thẳng :

\(\left(\Delta_B\right):y=f_m'\left(x_B\right)x+y_b-f_m'\left(x_B\right)x_B\)

\(\left(\Delta_C\right):y=f_m'\left(x_C\right)x+y_C-f_m'\left(x_C\right)x_C\)

Ta cần tìm m để B và C cùng khác A và \(\Delta_B\backslash\backslash\Delta_C\), tức là :

\(\begin{cases}x_B\ne x_A\\x_C\ne x_A\\f'_m\left(x_B\right)=f'_m\left(x_C\right)\\y_B-f'_m\left(x_B\right)x_B\ne y_C-f'_m\left(x_C\right)x_C\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}m\ne-1\\m\ne-\frac{1}{2}\\-m^2=2m^2+2m\\m^3\ne-4m^3-3m^2\end{cases}\)

                                                        \(\Leftrightarrow m=-\frac{2}{3}\)

 

NV
7 tháng 8 2021

Hàm không có tiệm cận đứng khi: \(x^2-\left(2m+3\right)x+2\left(m-1\right)=0\) có nghiệm \(x=2\)

\(\Rightarrow4-2\left(2m+3\right)+2\left(m-1\right)=0\)

\(\Rightarrow m=-2\)

11 tháng 4 2016

Ta có \(y'=3mx^2-6mx\Rightarrow y'=0\Rightarrow\begin{cases}x=0\\x=2\end{cases}\) với mọi m khác 0

Do y' đổi dấu qua x=0 và x=2 nên đồ thị có 2 điểm cực trị => Điều phải chứng minh 

Với \(x=0\Rightarrow y=3\left(m-1\right);x=2\Rightarrow y=-m-3\)

Do vai trò của A, B như nhau nên không mất tính tổng quát giả sử \(A\left(0;3m-3\right);B\left(2;-m-3\right)\)

Ta có : \(OA^2+OB^2-2OA^2=-20\Leftrightarrow9\left(m-1\right)^2+4+\left(m+3\right)^2-2\left(4-16m\right)^2=-20\)

                                           \(\Leftrightarrow11m^2+6m-17=0\Leftrightarrow\begin{cases}m=1\\m=-\frac{17}{11}\end{cases}\)

Kết luận : Với \(\begin{cases}m=1\\m=-\frac{17}{11}\end{cases}\) yêu cầu bài toán được thỏa mãn

 

27 tháng 4 2016

Ta có : \(A\left(0;\frac{1}{3}\right)\) và \(y'=4x^2-2\left(2m+1\right)x+m+2\)

Suy ra \(y'\left(0\right)=m+2\)

Tiếp tuyến của d cắt Ox tại \(B\left(-\frac{1}{3m+6};0\right)\) (m=-2 không thỏa mãn yêu cầu bài toán)

Khi đó diện tích của tam giác tạo bởi d với 2 trục tọa độ là :

\(S=\frac{1}{2}OA.OB=\frac{1}{2}.\frac{1}{3}.\left|\frac{-1}{3m+6}\right|=\frac{1}{18\left|m+2\right|}\)

Theo giả thiết ta có : \(\frac{1}{18\left|m+2\right|}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow\left|m+2\right|=\frac{1}{6}\)

                                                  \(\Leftrightarrow m=-\frac{13}{6}\) hoặc \(m=-\frac{11}{6}\)

23 tháng 5 2017

Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số