Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Với 4 điểm A, B, C, D ta có: \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \) khi và chỉ khi tứ giác ABDC là hình bình hành
Theo tính chất của hình bình hành thì giao điểm của hai đường chéo là trung điểm của mỗi đường và ngược lại.
Nói cách khác: trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Với 4 điểm A, B, C, D ta có: \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \) khi và chỉ khi tứ giác ABDC là hình bình hành
Theo tính chất của hình bình hành thì giao điểm của hai đường chéo là trung điểm của mỗi đường và ngược lại.
Nói cách khác: trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Gọi trung điểm của AD là I, trung điểm BC là J.
Khi đó ta có: 
Mà theo quy tắc ba điểm ta có:
⇔ I ≡ J hay trung điểm AD và BC trùng nhau (đpcm)
a) \(\overrightarrow{MP}.\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MD}\right).\left(\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MC}\right)\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}.\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MD}.\overrightarrow{MC}\right)\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{MD}.\overrightarrow{MC}\right)\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MD}.\overrightarrow{MC}\right)\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(0+0\right)=0\) (vì \(AC\perp BD\) nên \(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{BM}=0;\overrightarrow{MD}.\overrightarrow{MC}=0\)).
Vậy \(\overrightarrow{MP}.\overrightarrow{BC}=0\) nên \(MP\perp BC\).
a) Chữa đề: \(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{DA}=2\overrightarrow{NM}\)
\(Ta\text{ }có:\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}\\ =\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{DA}+\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AB}\right)=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{DA}\)
\(\)\(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{DC}\\ =2\overrightarrow{CM}+2\overrightarrow{NC}=2\left(\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{CM}\right)=2\overrightarrow{NM}\)
Vậy \(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{DA}=2\overrightarrow{NM}\)
\(\text{b) }\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}=-\left(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right)\\ =-\left[\left(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}\right)+\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right)\right]\\ =-\left(2\overrightarrow{DM}+2\overrightarrow{CM}\right)=2\left(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{MC}\right)=4\left(\overrightarrow{MN}\right)\)
\(\text{c) }2\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{DA}\right)\\ =2\left[\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DA}\right)+\left(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{NA}\right)\right]\\ =2\left[\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DB}\right)+\overrightarrow{NI}\right]=2\left(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{NI}\right)\)
Mà IN là dường trung bình \(\Delta BCD\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}IN//BD\\IN=\frac{1}{2}BD\end{matrix}\right.\Rightarrow\overrightarrow{IN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}\\ \Rightarrow2\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{DA}\right)\\ =2\left(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{NI}\right)=2\left(\overrightarrow{DB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DB}\right)=2\cdot\frac{3}{2}\overrightarrow{DB}=3\overrightarrow{DB}\)
N là trung điểm của CD:
2
=
+ 
(1)
Theo quy tắc 3 điểm, ta có:
= 
+
(2)
= 
+ 
(3)
Từ (1), (2), (3) ta có: 2= +++
vì M là trung điểm của Ab nên: + = 
Suy ra : 2 = +
Chứng minh tương tự, ta có 2 = 
+
Chú ý: Sau khi chứng minh 2 C = + ta chỉ cần chứng minh thêm + = + cũng được
Ta có: + = 
++
+
= +++= ++
Vì = nên ta có: +=+
và 2= + = +
Tứ giác ABCD là một hình bình hành \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}AD//\;BC\\AD = BC\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \) Hai vecto \(\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {BC} \) cùng hướng và AD = BC.
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AD} .\) (đpcm)
Nếu \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\) thì AD và BC có trung điểm trùng nhau. Gọi I là trung điểm của AD ta chứng minh I cũng là trung điểm của BC.
Theo quy tắc của ba điểm của tổng, ta có
\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB};\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CI}+\overrightarrow{ID}\)
Vì \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\) nên \(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{CI}+\overrightarrow{ID}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{CI}-\overrightarrow{IB}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{DI}=\overrightarrow{CI}+\overrightarrow{BI}\left(1\right)\)
Vì I là trung điểm của AD nên \(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{DI}=\overrightarrow{0}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(\overrightarrow{CI}+\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{0}\left(3\right)\)
Từ (3) ta có chung điểm I, ta chứng minh \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\)
I là trung điểm AD \(\Rightarrow\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{DI}=\overrightarrow{0}\Rightarrow\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{0}\)
I là trung điểm BC \(\Rightarrow\overrightarrow{CI}+\overrightarrow{BI}=0\Rightarrow\overrightarrow{CI}-\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\)
Suy ra \(\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{CI}-\overrightarrow{IB}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{CI}+\overrightarrow{ID}\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\)