Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Thay abc = 1 vào biểu thức ta có
\(\frac{a.abc}{ab+abc.a+abc}+\frac{b}{bc+b.acb+abc}+\frac{c}{ac+c+1}\)
= \(\frac{a^2bc}{ab+a^2bc+abc}+\frac{b}{bc+ab^2c+abc}+\frac{c}{ac+c+1}\)
= \(\frac{a^2bc}{ab\left(ac+c+1\right)}+\frac{b}{b\left(ac+c+1\right)}+\frac{c}{ac+c+1}\)
= \(\frac{ac}{\left(ac+c+1\right)}+\frac{1}{\left(ac+c+1\right)}+\frac{c}{ac+c+1}\)
= \(\frac{ac+c+1}{ac+c+1}\)
= 1 (đpcm)
Nếu có gì không hiểu nhớ nt cho mình nha
Em xem phần trả lời của bạn Giang nhé Câu hỏi của Vu Hoang - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
1 cách khác:
Đặt \(a=\frac{x}{y};b=\frac{y}{z};c=\frac{z}{x}\Rightarrow abc=1\left(TMGT\right)\)
Khi đó:
\(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ac+c+1}\)
\(=\frac{1}{b+1+\frac{1}{a}}+\frac{1}{c+1+\frac{1}{b}}+\frac{1}{a+1+\frac{1}{c}}\)
\(=\frac{1}{\frac{y}{z}+1+\frac{y}{x}}+\frac{1}{\frac{z}{x}+1+\frac{z}{y}}+\frac{1}{\frac{x}{y}+1+\frac{x}{z}}\)
\(=\frac{xz}{xy+yz+zx}+\frac{xy}{xy+yz+zx}+\frac{yz}{xy+yz+zx}=\frac{xy+yz+zx}{xy+yz+zx}=1\)
\(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ac+c+1}=\frac{a}{ab+a+1}+\frac{ab}{abc+ab+a}+\frac{abc}{aabc+abc+ab}=\)
\(=\frac{a}{ab+a+1}+\frac{ab}{ab+a+1}+\frac{1}{ab+a+1}=1\)
Thay \(abc=1\) vào biểu thức ta có :
\(\frac{a.abc}{ab+abc.a+abc}+\frac{b}{bc+b.acb+abc}+\frac{c}{ac+c+1}\)
\(=\frac{a^2bc}{ab+a^2bc+abc}+\frac{b}{bc+ab^2c+abc}+\frac{c}{ac+c+1}\)
\(=\frac{a^2bc}{ab\left(ac+c+1\right)}+\frac{b}{b\left(ac+c+1\right)}+\frac{c}{ac+c+a}\)
\(=\frac{ac}{\left(ac+c+1\right)}+\frac{1}{\left(ac+c+1\right)}+\frac{c}{ac+c+1}\)
\(=\frac{ac+c+1}{ac+c+1}\)
\(=1\left(đpcm\right)\)
Chúc bạn học tốt !!!
Đặt \(T=\frac{1}{1+a+ab}+\frac{1}{1+b+bc}+\frac{1}{1+c+ac}\) (*)
Ta có: \(abc=1\Rightarrow c=\frac{1}{ab}\).Thay vào (*) ta có:
\(T=\frac{1}{1+a+ab}+\frac{1}{1+b+\frac{1}{a}}+\frac{1}{1+\frac{1}{ab}+\frac{1}{b}}\)
\(=\frac{1}{1+a+ab}+\frac{1}{\frac{a+ab+1}{a}}+\frac{1}{\frac{ab+1+a}{ab}}\)
\(=\frac{1}{1+a+ab}+\frac{a}{a+ab+1}+\frac{ab}{ab+1+a}\)
\(=\frac{1+a+ab}{1+a+ab}=1=VP\) (Đpcm)
a)(a+b+c)(ab+bc+ac)-abc=a(ab+bc+ac)+b(ab+bc+ac)+c(ab+bc+ac)-abc
=a2b+abc+a2c+ab2+b2c+abc+abc+bc2+ac2-abc
=(abc+a2b)+(a2c+ac2)+(b2c+ab2)+(bc2+abc)+(abc-abc)
=ab(c+a)+ac(c+a)+b2(c+a)+bc(c+a)
=(ab+ac+b2+bc)(c+a)
=(a+b)(b+c)(c+a)
a) \(\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ac\right)-abc=a^2b+abc+a^2c+ab^2+b^2c+abc+abc+c^2b+c^2a-abc\)
\(=a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+a^2c+2abc=b\left(a^2+2ac+c^2\right)+b^2\left(a+c\right)+ac\left(a+c\right)\)
\(=b\left(a+c\right)^2+b^2\left(a+c\right)+ac\left(a+c\right)=\left(a+c\right)\left(ab+bc+b^2+ac\right)\)
\(=\left(a+c\right)\left[b\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)\right]=\left(a+c\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)\)
b) \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\Leftrightarrow\left(ab+bc+ac\right)\left(a+b+c\right)=abc\Leftrightarrow\left(ab+bc+ac\right)\left(a+b+c\right)-abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)(áp dụng từ câu a) )
\(\Rightarrow a+b=0\)hoặc \(b+c=0\)hoặc \(c+a=0\)
Đặt \(a^{2n+1}=x;b^{2n+1}=y;c^{2n+1}=z\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\Leftrightarrow\left(xy+yz+xz\right)\left(x+y+z\right)-xyz=0\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\)( áp dụng câu a) )
\(\Rightarrow x+y=0\)hoặc \(y+z=0\)hoặc \(z+x=0\)
- Với \(x+y=0\Leftrightarrow a^{2n+1}+b^{2n+1}=0\Leftrightarrow\left(a+b\right).A=0\)với A là một đa thức
Mà ta lại có \(a+b=0\left(cmt\right)\)\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{a^{2n+1}}+\frac{1}{b^{2n+1}}=0\)\(\Rightarrow\frac{1}{c^{2n+1}}=\frac{1}{c^{2n+1}}\)(luôn đúng)
Tương tự với các trường hợp còn lại, ta có điều phải chứng minh.
\(\)
do abc=1 nên \(\frac{a}{ab+a+1}\)=\(\frac{a}{ab+a+abc}\)=\(\frac{a}{a\left(bc+b+1\right)}\)=\(\frac{1}{bc+b+1}\)
\(\frac{c}{ac+c+1}\)=\(\frac{bc}{abc+bc+b}\)(nhân cả 2 vế cho b)=\(\frac{bc}{bc+b+1}\)
=>\(\frac{a}{ab+a+1}\)+\(\frac{b}{bc+b+1}\)+\(\frac{c}{ac+c+1}\)=\(\frac{bc+b+1}{bc+b+1}\)=1