Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(M=\dfrac{a-b}{c}+\dfrac{b-c}{a}+\dfrac{c-a}{b}\)
Xét \(M\times\dfrac{c}{a-b}=1+\dfrac{c}{a-b}\left(\dfrac{b-c}{a}+\dfrac{c-a}{b}\right)=1+\dfrac{c}{a-b}\left(\dfrac{b^2-bc+ac-a^2}{ab}\right)=1+\dfrac{c}{a-b}\left(\dfrac{\left(b-a\right)\left(b+a\right)-c\left(b-a\right)}{ab}\right)=1+\dfrac{c}{a-b}\left(\dfrac{\left(b-a\right)\left(a+b-c\right)}{ab}\right)\)
Vì \(a+b+c=0\Leftrightarrow a+b=-c\Leftrightarrow a+b-c=-2c\)
\(\Rightarrow M\times\dfrac{c}{a-b}=1+\dfrac{c}{a-b}\times\dfrac{\left(a-b\right)2c}{ab}=1+\dfrac{2c^2}{ac}=1+\dfrac{2c^3}{abc}\)
Tương tự \(M\times\dfrac{a}{b-c}=1+\dfrac{2a^3}{abc}\)
\(M\times\dfrac{b}{c-a}=1+\dfrac{2b^3}{abc}\)
\(\Rightarrow A=3+\dfrac{2\left(a^3+b^3+c^3\right)}{abc}\)
Mà do \(a+b+c=0\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)
\(\Rightarrow A=9\)
Cách làm mới cũng khá chính xác, nhớ tick mình nha .
Vì a+b+c=0 nên (a+b)(b+c)(c+a)=-abc
Áp dụng bất hằng đẳng thức\(a^2\left(c-b\right)+b^2\left(a-c\right)+c^2\left(b-c\right)=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)
\)
\(a^2\left(b+c\right)+b^2\left(c+a\right)+c^2\left(a+b\right)=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)-2abc\)
Ta có A=\(A=\left(\dfrac{a-b}{c}+\dfrac{b-c}{a}+\dfrac{c-a}{b}\right)\left(\dfrac{c}{a-b}+\dfrac{a}{b-c}+\dfrac{b}{c-a}\right)\)
\(A=\left(\dfrac{\left(a-b\right)ab+\left(b-c\right)bc+\left(c-a\right)ac}{abc}\right)\left(\dfrac{\left(b-c\right)\left(c-a\right)c+\left(a-b\right)\left(c-a\right)a+\left(a-b\right)\left(b-c\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\right)\)
\(A=(\dfrac{-[a^2\left(c-b\right)+b^2\left(a-b\right)+c^2\left(b-c\right)]}{abc})\left(\dfrac{a^2\left(b+c\right)+b^2\left(a+c\right)+c^2\left(a+b\right)-5abc-a^3-b^3-c^3}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\right)\)
A=\(=\left(\dfrac{-1}{abc}\right)\left(-9abc\right)=9\)
Từ \(\dfrac{a-\left(c-b\right)}{b-c}+\dfrac{b-\left(a-c\right)}{c-a}+\dfrac{c-\left(b-a\right)}{a-b}=3\)
\(=>\dfrac{a}{b-c}+1+\dfrac{b}{c-a}+1+\dfrac{c}{a-b}+1=3\)
\(=>\dfrac{a}{b-c}-\dfrac{b}{a-c}-\dfrac{c}{b-a}=0\)
\(=>\dfrac{a}{b-c}=\dfrac{b}{a-c}+\dfrac{c}{b-a}=\dfrac{b^2-ab+ac-c^2}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)}\)
Nhân cả 2 vế với \(\dfrac{1}{b-c}\) ta được
\(\dfrac{a}{\left(b-c\right)^2}=\dfrac{b^2-ab+ac-c^2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\left(1\right)\)
Tương tự ta có:
\(\dfrac{b}{\left(c-a\right)^2}=\dfrac{c^2-bc+bc-a^2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\left(2\right)\)
\(\dfrac{c}{\left(a-b\right)^2}=\dfrac{a^2-ca+cb-c^2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\left(3\right)\)
Cộng theo vế (1);(2);(3) ta có ĐPCM
CHÚC BẠN HỌC TỐT.........
ab−c−ba−c−cb−a=0=>ab−c−ba−c−cb−a=0
=>ab−c=ba−c+cb−a=b2−ab+ac−c2(c−a)(a−b)=>ab−c=ba−c+cb−a=b2−ab+ac−c2(c−a)(a−b)
Nhân cả 2 vế với 1b−c1b−c ta được
a(b−c)2=b2−ab+ac−c2(a−b)(b−c)(c−a)(1)a(b−c)2=b2−ab+ac−c2(a−b)(b−c)(c−a)(1)
Tương tự ta có:
b(c−a)2=c2−bc+bc−a2(a−b)(b−c)(c−a)(2)b(c−a)2=c2−bc+bc−a2(a−b)(b−c)(c−a)(2)
c(a−b)2=a2−ca+cb−c2(a−b)(b−c)(c−a)(3)c(a−b)2=a2−ca+cb−c2(a−b)(b−c)(c−a)(3)
Cộng theo vế (1);(2);(3) ta có ĐPCM
Lời giải:
Ta có:
\(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0\Rightarrow \frac{a}{b-c}=\frac{-b}{c-a}+\frac{-c}{a-b}\)
\(\Leftrightarrow \frac{a}{b-c}=\frac{-b(a-b)-c(c-a)}{(a-b)(c-a)}=\frac{b^2+ca-c^2-ab}{(a-b)(c-a)}\)
\(\Rightarrow \frac{a}{(b-c)^2}=\frac{b^2+ca-c^2-ab}{(a-b)(b-c)(c-a)}\)
Hoàn toàn tương tự:
\(\frac{b}{(c-a)^2}=\frac{c^2+ab-a^2-bc}{(a-b)(b-c)(c-a)}\)
\(\frac{c}{(a-b)^2}=\frac{a^2+bc-b^2-ac}{(a-b)(b-c)(c-a)}\)
Cộng theo vế các đẳng thức vừa thu được ta có:
\(\frac{a}{(b-c)^2}+\frac{b}{(c-a)^2}+\frac{c}{(a-b)^2}=\frac{b^2+ac-c^2-ab+c^2+ab-a^2-bc+a^2+bc-b^2-ac}{(a-b)(b-c)(c-a)}=0\)
Ta có đpcm.
\(\dfrac{a^3}{\left(a+2b\right)\left(b+2c\right)}+\dfrac{a+2b}{27}+\dfrac{b+2c}{27}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{a^3\left(a+2b\right)\left(b+2c\right)}{27^2.\left(a+2b\right)\left(b+2c\right)}}=\dfrac{a}{3}\)
Tương tự:
\(\dfrac{b^3}{\left(b+2c\right)\left(c+2a\right)}+\dfrac{b+2c}{27}+\dfrac{c+2a}{27}\ge\dfrac{b}{3}\)
\(\dfrac{c^3}{\left(c+2a\right)\left(a+2b\right)}+\dfrac{c+2a}{27}+\dfrac{a+2b}{27}\ge\dfrac{c}{3}\)
Cộng vế:
\(VT+\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{9}\ge\dfrac{a+b+c}{3}\)
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{a+b+c}{9}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
Để chứng minh bất đẳng thức (a^2 + b^2 + c^2)[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2] ≥ 9/2, ta sẽ sử dụng phương pháp chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp chứng minh định lý hình học.
Giả sử a, b, c là các số thực và (a, b, c) không phải là (0, 0, 0). Ta có thể viết lại bất đẳng thức trên dưới dạng:
(a^2 + b^2 + c^2)[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2] - 9/2 ≥ 0
Mở rộng và rút gọn biểu thức ta có:
2a^4 + 2b^4 + 2c^4 + 4a^2b^2 + 4b^2c^2 + 4c^2a^2 - 2a^3b - 2ab^3 - 2b^3c - 2bc^3 - 2c^3a - 2ca^3 - 9/2 ≥ 0
Đặt x = a^2, y = b^2, z = c^2, ta có:
2x^2 + 2y^2 + 2z^2 + 4xy + 4yz + 4zx - 2x^(3/2)√y - 2x√y^(3/2) - 2y^(3/2)√z - 2yz^(3/2) - 2z^(3/2)√x - 2zx^(3/2) - 9/2 ≥ 0
Đặt t = √x, u = √y, v = √z, ta có:
2t^4 + 2u^4 + 2v^4 + 4t^2u^2 + 4u^2v^2 + 4v^2t^2 - 2t^3u - 2tu^3 - 2u^3v - 2uv^3 - 2v^3t - 2vt^3 - 9/2 ≥ 0
Nhận thấy rằng biểu thức trên có thể viết dưới dạng tổng của các bình phương:
(t^2 + u^2 + v^2 - tu - uv - vt)^2 + (t^2 - u^2)^2 + (u^2 - v^2)^2 + (v^2 - t^2)^2 ≥ 0
Vì mọi số thực bình phương đều không âm, nên bất đẳng thức trên luôn đúng. Từ đó, ta có chứng minh rằng (a^2 + b^2 + c^2)[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2] ≥ 9/2.
\(\dfrac{a}{bc}+\dfrac{b}{ac}>=2\cdot\sqrt{\dfrac{a}{bc}\cdot\dfrac{b}{ac}}=\dfrac{2}{cc}\)
\(\dfrac{b}{ca}+\dfrac{c}{ab}>=2\cdot\sqrt{\dfrac{bc}{ca\cdot ab}}=\dfrac{2}{a}\)
\(\dfrac{c}{ab}+\dfrac{a}{bc}>=2\cdot\sqrt{\dfrac{a\cdot c}{a\cdot b\cdot c\cdot b}}=\dfrac{2}{b}\)
=>a/bc+b/ac+c/ab>=2(1/a+1/b+1/c)
Lời giải:
Đặt $\frac{a+b}{a-b}=x; \frac{b+c}{b-c}=y; \frac{c+a}{c-a}=z$. Khi đó:
$xy+yz+xz=\frac{(a+b)(b+c)}{(a-b)(b-c)}+\frac{(a+b)(c+a)}{(a-b)(c-a)}+\frac{(b+c)(c+a)}{(b-c)(c-a)}$
$=\frac{(a+b)(b+c)(c-a)+(b+c)(c+a)(a-b)+(c+a)(a+b)(b-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)}=-1$
Suy ra:
$(\frac{a+b}{a-b})^2+(\frac{b+c}{b-c})^2+(\frac{c+a}{c-a})^2=x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+xz)$
$=(x+y+z)^2+2\geq 2$
Ta có đpcm.
VP = \(\dfrac{\left(a-b\right)^2}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{\left(b-c\right)^2}{\left(b+a\right)\left(c+a\right)}+\dfrac{\left(c-a\right)^2}{\left(c+b\right)\left(a+b\right)}\)
\(=\left(a-b\right).\dfrac{\left(a+c\right)-\left(b+c\right)}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}+\left(b-c\right).\dfrac{\left(b+a\right)-\left(c+a\right)}{\left(b+a\right)\left(c+a\right)}+\left(c-b\right).\dfrac{\left(c+b\right)-\left(a+b\right)}{\left(c+b\right)\left(a+b\right)}\)
\(=\left(a-b\right).\left(\dfrac{1}{b+c}-\dfrac{1}{a+c}\right)+\left(b-c\right)\left(\dfrac{1}{c+a}-\dfrac{1}{b+a}\right)+\left(c-a\right).\left(\dfrac{1}{a+b}-\dfrac{1}{c+b}\right)\)
\(=\left(a-b\right).\dfrac{1}{b+c}-\left(a-b\right).\dfrac{1}{a+c}+\left(b-c\right).\dfrac{1}{c+a}-\left(b-c\right).\dfrac{1}{b+a}+\left(c-a\right).\dfrac{1}{a+b}-\left(c-a\right).\dfrac{1}{c+b}\)
\(=\left(2a-b-c\right).\dfrac{1}{b+c}+\left(2b-c-a\right).\dfrac{1}{c+a}+\left(2c-a-b\right).\dfrac{1}{a+b}\)
\(=\dfrac{2a}{b+c}-\left(b+c\right).\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{2b}{c+a}-\left(c+a\right).\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{2c}{a+b}-\left(a+b\right).\dfrac{1}{a+b}\)
\(=2\left(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\right)-3\left(đpcm\right)\)
\(VT=\dfrac{2a^3-a^2b-a^2c-ab^2-ac^2+2b^3-b^2c-bc^2+2c^3}{(a+b)(b+c)(c+a)} \)
\(\\=\dfrac{a^3+a^2b-2a^2b-2ab^2+ab^2+b^3+b^3+b^2c-2b^2c-2bc^2+bc^2+c^3+c^3+c^2a-2c^a+2ca^2-ca^2+a^3}{(a+b)(b+c)(c+a)}\)
\(\\=\dfrac{(a-b)^2(a+b)+(b-c)^2(b+c)+(c-a)^2(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\)
\(\\\Rightarrow VT=\dfrac{(a-b)^2}{(c+a)(b+c)}+\dfrac{(b-c)^2}{(c+a)(a+b)}+\dfrac{(c-a)^2}{(a+b)(b+c)}=VP\)
Chứng minh đẳng thức với giả thuyết $a+b+c=0$ - Đại số - Diễn đàn Toán học