Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Để làm đc bài này bạn cần áp dụng phương pháp đồng dư,chắc chắn sẽ ra,
Bài 1
Trong 3 số tự nhiên tùy ý chọn ( a, b, c ε N ), chứng minh rằng luôn có ít nhất 1 cặp số ( 2 số trong 3 số đó) mà tổng và hiệu của chúng chia hết cho 2.
Giải : Áp dụng quy tắc chẵn –lẻ
Xét các trường hợp:
· a, b, c cùng chẵn --> đương nhiên chọn bất kỳ cặp nào cũng có
tổng và cả hiệu của chúng là số chia hết cho 2
· a, b, c cùng lẻ --> đương nhiên chọn bất kỳ cặp nào cũng có
tổng và cả hiệu của chúng là số chia hết cho 2
· a, b, c có 1 cặp là số lẻ --> Hiệu và tổng của 2 số lẻ chia hết cho 2
· a, b, c có 1 cặp là số chẵn --> Hiệu và tổng của 2 số chẵn chia hết cho 2
Hai trường hợp đầu có 3 cặp số thỏa mãn đầu bài
Hai trường hợp cuối có 1 cặp số thỏa mãn đầu bài
---> Vậy có ít nhât 1 cặp số mà tổng và hiệu của chúng chia hết cho 2 (ĐPCM)
Bài 2
Trong 4 số tự nhiên tùy ý chọn ( a, b, c, d ε N ), chứng minh rằng luôn có ít nhất 1 cặp số ( 2 số trong 4 số đó) mà tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 5.
Giải : Áp dụng qui tắc số dư
Ta thấy phép chia cho 5 có thể được các số dư là 0, 1, 2, 3, 4,
Xét các trường hợp:
· cả 4 số có số dư khác nhau (0,1,2,3);(0,2,3,4);(0,1 4,2); (0,4,2,3);(1,2,3,4)
bao giờ cũng có ít nhất 1 cặp số có số dư là (1+4) hoặc (2+3)
--> Tổng 1 cặp số đó chia hết cho 5
Với nhóm số có số dư (1,2,3,4) --> 2 cặp có tổng chia hết cho 5
· cả 4 số có số dư trùng nhau --> 6 cặp từng đôi một có hiệu = 0
--> chia hết cho 5
· 2 cặp có số dư trùng nhau --> Hiệu của 2 cặp đó = 0 --> chia hết cho 5
· 1 cặp có số dư trùng nhau --> Hiệu của 1 cặp đó = 0 --> chia hết cho 5
Vậy ít nhất cũng chọn ra 1 cặp số mà tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 5.
Bài 3
Chứng minh rằng trong 7 số tự nhiên bất kỳ tùy chọn, bao giờ cũng có 4 số mà tổng của chúng chia hết cho 4
Giải:
Đặt 7 số TN đó là A, B, C, D, E, F, G. Lấy kết quả của bài 1: Trong 3 số tự nhiên bất kỳ luôn có 2 số là số chẵn ( chia hết cho 2)
A, B, C Và D, E, F mỗi nhóm có 1 cặp chia hết cho 2
* Giả thử (A+B) =2 m và (D+E)=2n --> (A+B) + (C+D)= 2(m+n)
Còn 3 số C F G sẽ có 1 cặp chia hết cho 2
( C + F) = 2 p Với m,n,p cúng là số tự nhiên
Trong 3 số m, n, p luôn chọn được 2 số có tổng chia hết cho 2.
*Giả thử (m + n) =2 q ( q là số TN) thì ta có
(A+B) + (C+D)= 2(m+n) = 4q ==> A+B+C+D chia hết cho 4 (ĐPCM)
Tương tự nếu chon các nhóm số khác ta cũng được 4 số trong 7 số bât kỳ trên chia hết cho 4
Chú ý:
- Với bài toán chứng minh ta phải xét tất cả các trường hợp có thể xảy ra như bài 1 và bài 2; Với bài 3, tài liệu này chỉ nêu 1 trường hợp, còn các trường hợp khác nêu “CM tương tự”
- Bài 1 và bài 2 chú ý kết luận có sự khác nhau bởi 2 chữ "và" với chữ "hoặc" !
k mik nha
xét dãy số \(1998,19981998,199819981998,...\)đến số có 1999 bộ 1998
vậy dãy trên gồm 1999 số
giả sử rằng không có số nào chia hết cho 1999
nên 1999 trên chỉ có thể rơi vào các trường hợp chia 1999 dư 1, dư 2, ..., dư 1998
do có 1998 khả năng số dư, nên ít nhất có hai số trong dãy là cùng số dư khi chia cho 1999 ( nguyên lí dirichlet)
giả sử hai số đó co x và y bộ 1998 ( x>y
ta có hiệu hai số đó là tích của 10^(4y) và số có (x-y) bộ 1998 phải chia hết cho 1999
điều này là vô lý vì 10^(4y) và số có (x-y) bộ là không chia hết cho 1999
vậy giả sử ban đầu là sai hay tồn tại số chia hết cho 1999