Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Sửa đề: Chứng minh rằng không có các số a, b, c nào thỏa mãn cả 3 bất đẳng thức
|b - c| > |a|(*); |c - a| > |b|(**); |a - b| > |c|(***)
Ta dễ thấy a, b, c phải khác nhau từng đôi 1
Ta thấy rằng vai trò của a, b, c trong bài này là như nhau nên ta chỉ cần giải 4 trường hợp là
\(\left(a>0,b>0,c>0\right);\left(a< 0,b< 0,c< 0\right);\left(a>0,b>0,c< 0\right);\left(a< 0,b< 0,c>0\right)\)
Không mất tính tổng quát ta giả sử: |a| > |b| > |c|
Với \(a>0,b>0,c>0\)thì |b - c| > |a| là sai (1)
Với \(a< 0,b< 0,c< 0\) thì |b - c| > |a| là sai (2)
Với \(a>0,b>0,c< 0\)thì ta đặt \(c=-z\left(z>0\right)\)
Thì bất đẳng thức (*), (**) ban đầu viết lại là:
\(\hept{\begin{cases}b+z>a\\a-b>z\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}z>a-b\\z< a-b\end{cases}}\)(sai) (3)
Với \(a< 0;b< 0;c>0\)thì ta đặt \(\hept{\begin{cases}a=-x\left(x>0\right)\\b=-y\left(y>0\right)\end{cases}}\)
Thì bất đẳng thức (*), (**) ban đầu viết lại là:
\(\hept{\begin{cases}y+c>x\\x-y>c\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}c>x-y\\c< x-y\end{cases}}\)(sai) (4)
Từ (1), (2), (3), (4) ta suy ra điều phải chứng minh
mk góp thêm 1 cách nữa
Giả sử tồn tại 3 số a, b, c thỏa mãn cả 3 BĐT trên. Ta có:
\(\left|b-c\right|>\left|a\right|\)\(\Rightarrow\)\(\left(b-c\right)^2>a^2\)\(\Leftrightarrow\)\(b^2-2bc+c^2-a^2>0\)
\(\Leftrightarrow\)\(-\left(a+b-c\right)\left(a-b+c\right)>0\)(1)
Tương tự \(\left|c-a\right|>\left|b\right|\)\(\Leftrightarrow\)\(-\left(a+b-c\right)\left(-a+b+c\right)>0\) (2)
và \(\left|a-b\right|>\left|c\right|\)\(\Leftrightarrow\)\(-\left(a-b+c\right)\left(-a+b+c\right)>0\) (3)
Nhân (1), (2) và (3) theo vế ta được \(-\left[\left(a+b-c\right)\left(a-b+c\right)\left(-a+b+c\right)\right]^2>0\) (vô lý)
Vậy ko tồn tại 3 số a, b, c thỏa mãn 3 BĐT đã cho.
Giả sử \(a\left(2-b\right)>1,b\left(2-c\right)>1,c\left(2-a\right)>1\)
\(\Rightarrow abc\left(2-a\right)\left(2-b\right)\left(2-c\right)>1\) (1)
Mặt khác, ta có:
\(a\left(2-a\right)=-a^2+2a=-\left(a-1\right)^2+1\le1\)
Tương tự, \(b\left(2-b\right)\le1,c\left(2-c\right)\le1\)
\(\Rightarrow abc\left(2-a\right)\left(2-b\right)\left(2-c\right)\le1\),điều này trái với (1)
Vậy điều giả sử là sai.
Do đó ít nhất 1 trong 3 bất đẳng thức trên là sai.
\(\Sigma_{sym}a^4b^4\ge\frac{\left(\Sigma_{sym}a^2b^2\right)^2}{3}\ge\frac{\left(\Sigma_{sym}ab\right)^4}{27}\ge\frac{a^2b^2c^2\left(a+b+c\right)^2}{3}=3a^4b^4c^4\)
\(\Sigma\frac{a^5}{bc^2}\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{abc\left(a+b+c\right)}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^4}{abc\left(a+b+c\right)^3}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^6\left(a^2+b^2+c^2\right)}{27abc\left(a+b+c\right)^3}\)
\(\ge\frac{\left(3\sqrt[3]{abc}\right)^3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{27abc}=a^2+b^2+c^2\)
(a^2+b^2)/2>=ab
<=>(a^2+b^2)>=2ab
<=> a^2+2ab+b^2>=2ab
<=>a^2+b^2>=0(luôn đúng)
=> điều phải chứng minh.
Xét hiệu: \(a^2+b^2-2ab=\left(a-b\right)^2\ge0\)
=> \(a^2+b^2\ge2ab\)
Dấu "=" xra <=> a = b
Áp dụng ta có:
a) \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge2a.2b.2c=8abc\)
dấu "=" xra <=> a = b = c = 1
b) \(\left(a^2+4\right)\left(b^2+4\right)\left(c^2+4\right)\left(d^2+4\right)\ge4a.4b.4c.4d=256abcd\)
Dấu "=" xra <=> a = b= c = d = 2