Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Bị chặn trên vì \(u_n\le1,\forall n\in\mathbb{N}^{\circledast}\)
b) Bị chặn dưới vì \(u_n\ge2,\forall n\in\mathbb{N}^{\circledast}\)
c) Bị chặn dưới vì \(u_n\ge\sqrt{3},\forall n\in\mathbb{N}^{\circledast}\)
d) Bị chặn vì \(0< u_n\le\dfrac{1}{2},\forall n\in\mathbb{N}^{\circledast}\)
a)
\(u_1=1+\left(1-1\right).2^1=1\);
\(u_2=1+\left(2-1\right).2^2=1+2^2=5\);
\(u_3=1+\left(3-1\right).2^3=1+2.2^3=17\);
\(u_4=1+\left(4-1\right).2^4=1+3.2^4=49\);
\(u_5=1+\left(5-1\right).2^5=1+4.2^5=129\).
b)
\(u_n=1+\left(n-1\right).2^n\).
\(u_{n+1}=1+\left(n+1-1\right).2^{n+1}=1+n.2^{n+1}\)
\(=1+\left(n-1\right).2^{n+1}+2^{n+1}\)\(=2\left[1+\left(n-1\right).2^n\right]+2^{n+1}-1\)
\(=2.u_n+2^{n+1}-1\).
Vậy công thức truy hồi của dãy số là: \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=1\\u_n=2u_{n-1}+2^n-1\end{matrix}\right.\).
c) Có \(u_n=1+\left(n-1\right).2^n\ge1+\left(1-1\right).2^n=1\).
Vậy \(u_n\ge1,\forall n\in N^{\circledast}\). Nên dãy \(\left(u_n\right)\) bị chặn dưới bởi 1.
Xét .
\(u_n-u_{n-1}=2u_{n-1}+2^n-1-u_{n-1}=u_{n-1}+2^n-1\)\(\ge1+2^n-1=2^n>0,\forall n\in N^{\circledast}\).
Vậy \(u_n-u_{n-1}>0,\forall n\in N^{\circledast}\) nên dãy \(\left(u_n\right)\) là dãy số tăng.
Ta có: \({u_n} = \frac{{{n^2} + 1}}{{2{n^2} + 4}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{n^2} + 1}}{{{n^2} + 2}}} \right) = \frac{1}{2}\left( {1 - \frac{1}{{{n^2} + 2}}} \right) < \frac{1}{2}\).
Ta lại có: \[{u_n} = \frac{{{n^2} + 1}}{{2{n^2} + 4}} > 0\]
Do đó \(0 < {u_n} < \frac{1}{2}\).
Vì vậy dãy số (un) bị chặn.
+) \(U_n=\sqrt{n^2+2}-n=\frac{2}{\sqrt{n^2+2}+n}\)
\(U_{n+1}=\sqrt{\left(n+1\right)^2+2}-\left(n+1\right)=\frac{2}{\sqrt{\left(n+1\right)^2+2}+n+1}\)
Vì \(\frac{2}{\sqrt{n^2+2}+n}>\frac{2}{\sqrt{\left(n+1\right)^2+2}+n+1}\)với mọi số tự nhiên n
=> \(U_n>U_{n+1}\)với mọi số tự nhiên n
=> \(U_n\) là dãy giảm.
+) Ta có: \(\sqrt{n^2+2}-n\le\sqrt{\left(n+\sqrt{2}\right)^2}-n=\sqrt{2}\)với mọi số tự nhiên n
=> \(U_n\) là dãy bị chặn
• Ta có: \({u_{n + 1}} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) - 1}}{{\left( {n + 1} \right) + 1}} = \frac{{2n + 2 - 1}}{{n + 1 + 1}} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}}\)
Xét hiệu:
\(\begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}} - \frac{{2n - 1}}{{n + 1}} = \frac{{\left( {2n + 1} \right)\left( {n + 1} \right) - \left( {2n - 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\\ = \frac{{\left( {2{n^2} + n + 2n + 1} \right) - \left( {2{n^2} - n + 4n - 2} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\\ = \frac{{2{n^2} + n + 2n + 1 - 2{n^2} + n - 4n + 2}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} = \frac{3}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)
Vậy \({u_{n + 1}} - {u_n} > 0 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}\). Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.
• Ta có: \({u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) - 3}}{{n + 1}} = 2 - \frac{3}{{n + 1}}\)
\(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) ta có:
\(n + 1 > 0 \Leftrightarrow \frac{3}{{n + 1}} > 0 \Leftrightarrow 2 - \frac{3}{{n + 1}} < 2 \Leftrightarrow {u_n} < 2\). Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên.
\(n \ge 1 \Leftrightarrow n + 1 \ge 1 + 1 \Leftrightarrow n + 1 \ge 2 \Leftrightarrow \frac{3}{{n + 1}} \le \frac{3}{2} \Leftrightarrow 2 - \frac{3}{{n + 1}} \ge 2 - \frac{3}{2} \Leftrightarrow {u_n} \ge \frac{1}{2}\)
Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn dưới.
Ta thấy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên và bị chặn dưới nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn.
\(u_n=\dfrac{n^2+1}{2n^2-3}\)
\(=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{n^2+1}{n^2-1,5}\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{n^2-1,5+2,5}{n^2-1,5}\right)=\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{2.5}{n^2-1,5}\right)< \dfrac{1}{2}\)
=>(Un) là dãy số bị chặn