Câu hỏi của Minh Chau Do

Question

Chứng minh rằng an-4 - an​ ⋮ 30

cần gấp nhaaa

Lê Song Phương · Accepted Answer

Ta có $a^n-a^{n-4}=a^{n-4}\left(a^4-1\right)=N$

Ta thấy vì $a^{n-4}$ và $a^4-1$ không cùng tính chẵn lẻ nên $N⋮2$

Mặt khác, ta thấy nếu $a⋮3$ thì hiển nhiên $N⋮3$. Nếu $a⋮̸3$ thì $a^2$ chia 3 dư 1 (tính chất số chính phương), dẫn tới $a^4=\left(a^2\right)^2$ chỉ có thể chia 3 dư 1 hay $a^4-1⋮3$ với mọi $a⋮̸3$. Vậy $N⋮3$

Ta cần chứng minh $N⋮5$.

Dễ thấy điều này đúng nếu $a⋮5$

Với $a⋮̸5$, khi đó $a^2$ chia 5 dư 1 hoặc 4 (tính chất của số chính phương), suy ra $a^4=\left(a^2\right)^2$ chia 5 chỉ có thể dư 1 (cũng là tính chất của số chính phương). Dẫn đến $a^4-1⋮5$ với mọi $a⋮̸5$. Vậy $N⋮5$.

Do đó $N⋮2.3.5=30$ (đpcm)

Câu trả lời:  Ta có $a^n-a^{n-4}=a^{n-4}\left(a^4-1\right)=N$

Ta thấy vì $a^{n-4}$ và $a^4-1$ không cùng tính chẵn lẻ nên $N⋮2$

Mặt khác, ta thấy nếu $a⋮3$ thì hiển nhiên $N⋮3$. Nếu $a⋮̸3$ thì $a^2$ chia 3 dư 1 (tính chất số chính phương), dẫn tới $a^4=\left(a^2\right)^2$ chỉ có thể chia 3 dư 1 hay $a^4-1⋮3$ với mọi $a⋮̸3$. Vậy $N⋮3$

Ta cần chứng minh $N⋮5$.

Dễ thấy điều này đúng nếu $a⋮5$

Với $a⋮̸5$, khi đó $a^2$ chia 5 dư 1 hoặc 4 (tính chất của số chính phương), suy ra $a^4=\left(a^2\right)^2$ chia 5 chỉ có thể dư 1 (cũng là tính chất của số chính phương). Dẫn đến $a^4-1⋮5$ với mọi $a⋮̸5$. Vậy $N⋮5$.

Do đó $N⋮2.3.5=30$ (đpcm)

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP