PT
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
HV
0
T
2
7 tháng 2 2019
Dùng bất đẳng thức phụ:(x+y)2≥4xy
Ta có (a+b)2≥4ab ;(c+b)2≥4cb;(a+c)2≥4ac
⇒(a+b)2(b+c)2(a+c)2≥64(abc)2
do đó (a+b)(b+c)(c+a)≥8abc
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
7 tháng 2 2019
AD BĐT cô si cho số không âm
(a+b)(a+c)(b+c)\(\ge\)\(2\sqrt{ab}.2\sqrt{ac}.2\sqrt{bc}\)=8\(\sqrt{\left(abc\right)^2}\)=8abc
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 2 2020
\(\sqrt{\left(a+1\right)\left(b-1\right)}\le\frac{a+1+b-1}{2}=\frac{a+b}{2}\)
Tương tự: \(\sqrt{\left(b+1\right)\left(c-1\right)}\le\frac{b+c}{2}\) ; \(\sqrt{\left(c+1\right)\left(a-1\right)}\le\frac{c+a}{2}\)
Cộng vế với vế, do dấu "=" ko đồng thời xảy ra nên:
\(\sqrt{\left(a+1\right)\left(b-1\right)}+\sqrt{\left(b+1\right)\left(c-1\right)}+\sqrt{\left(c+1\right)\left(a-1\right)}< a+b+c\)
T
13 tháng 7 2018
Giả sử cả 3 bất đẳng thức đều đúng ta có
\(a.\left(1-c\right).b.\left(1-a\right).c.\left(1-b\right)>\dfrac{1}{64}\)
=>a.(1-a).b.(1-b).c.(1-c)>\(\dfrac{1}{64}\)
Mặt khác ta có a.(1-a)=a-a2=>-(a2-a)=-(((a2-2.a\(\dfrac{1}{2}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\))-\(\dfrac{1}{4}\))
=>(a-\(\dfrac{1}{2}\))2\(\le\dfrac{1}{4}\)
cm tương tự với b.(1-b) và c.(1-c) ta có \(a.\left(1-a\right).b.\left(1-b\right).c.\left(1-c\right)\le\dfrac{1}{64}\) => trái với giả sử
=> Vậy có ít nhất 1 trong 3 bdt là sai ( với 0<a,b,c<1)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
20 tháng 2 2020
Chỉ đúng trong trường hợp các số thực dương (kì lạ là các bạn rất thích quên điều kiện này khi đăng đề lên)
a/ \(\frac{a^3}{b^2}+a\ge2\sqrt{\frac{a^4}{b^2}}=\frac{2a^2}{b}\) ; \(\frac{b^3}{c^2}+b\ge\frac{2b^2}{c}\); \(\frac{c^3}{a^2}+c\ge\frac{2c^2}{a}\)
Cộng vế với vế:
\(VT+a+b+c\ge2VP\Rightarrow VT\ge2VP-\left(a+b+c\right)\)
Mà \(2VP=\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow2VP\ge VP+a+b+c\)
\(\Rightarrow2VP-\left(a+b+c\right)\ge VP\)
\(\Rightarrow VT\ge VP\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
20 tháng 2 2020
Câu dưới tương tự:
\(\frac{a^5}{b^3}+a^2+a^2\ge\frac{3a^3}{b}\) , làm tương tự với 2 cái còn lại và cộng lại:
\(\Rightarrow VT+2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge3\left(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\right)=3\left(\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{ca}+\frac{c^4}{ab}\right)\ge\frac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca}\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Rightarrow VT\ge a^2+b^2+c^2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
1 tháng 12 2019
bạn viết sai đề rồi nhé đề đúng là căn(b^2+1/c^2) và căn (c^2 + 1/a^2) ở vế trái chứ ?
Áp dụng BĐT Cô - si, ta có :
\(\left(1.a+\frac{9}{4}.\frac{1}{b}\right)^2\le\left(1^2+\frac{81}{16}\right)\left(a^2+\frac{1}{b^2}\right)\)
\(\Rightarrow\sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}\ge\frac{4}{\sqrt{97}}\left(a+\frac{9}{4b}\right)\).Chứng minh tương tự, ta có:
\(\sqrt{b^2+\frac{1}{c^2}}\ge\frac{4}{\sqrt{97}}\left(b+\frac{9}{4c}\right)\)
\(\sqrt{c^2+\frac{1}{a^2}}\ge\frac{4}{\sqrt{97}}\left(c+\frac{4}{9a}\right)\)
Cộng 3 vế BĐT => đpcm
BT
0
+) Chứng minh:
Ta có:
+) Chứng minh:
Ta có:
Vậy