Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a.\(\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}>\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\frac{2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}{n+1-n}=2\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)\)
áp dụng công thức cho biểu thức A có A>\(2\left(-\sqrt{2}+\sqrt{26}\right)>7\left(1\right)\)
(so sánh bình phương 2 số sẽ ra nha)
\(\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}< \frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=\frac{2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)}{n-n+1}=2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\)
áp dụng công thức cho biểu thức A ta CM được
A<\(2\left(\sqrt{2}-\sqrt{2-1}+\sqrt{3}-\sqrt{3-1}+...+\sqrt{25}-\sqrt{25-1}\right)\)
=\(2\left(-\sqrt{1}+\sqrt{25}\right)=2\left(-1+5\right)=2\cdot4=8\left(2\right)\)
từ (1) và (2) => ĐPCM
b. tương tự câu a ta CM đc BT đã cho=B>\(2\sqrt{51}-2\)> \(5\sqrt{2}\left(1\right)\)
và B<\(2\sqrt{50}=\sqrt{2}\cdot\sqrt{2\cdot50}=10\sqrt{2}\left(2\right)\)
từ (1) và (2)=>ĐPCM
(bạn nhớ phải biến đổi 1 thành 1/\(\sqrt{1}\) trc khi áp dụng công thức nha)
MỜI BẠN THAM KHẢO
2.+ \(\left(2n+1\right)^2=4n^2+4n+1>4n^2+4n\)
\(\Rightarrow2n+1>\sqrt{4n\left(n+1\right)}=2\sqrt{n\left(n+1\right)}\)
+ \(\frac{1}{\left(2n+1\right)\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}=\frac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}{\left(2n+1\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}\)
\(=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{2n+1}< \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{2\sqrt{n\left(n+1\right)}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
Do đó : \(A< \frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{48}}-\frac{1}{\sqrt{49}}\right)\)
\(\Rightarrow A< \frac{1}{2}\)
1. + \(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\frac{\left(n+1\right)-n}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\frac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}\)
\(< \frac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\cdot2\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}\left(n+1\right)}=2\cdot\frac{n+1-\sqrt{n\left(n+1\right)}}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}=2\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
Do đó : \(A< 2\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2012}}-\frac{1}{\sqrt{2013}}\right)\)
\(\Rightarrow A< 2\)
Bài 2 tạm thời chưa nghĩ ra :))
Đặt \(x=1+\frac{\sqrt{3}}{2}=\left(\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)^2\) , \(y=1-\frac{\sqrt{3}}{2}=\left(\frac{\sqrt{3}-1}{2}\right)^2\) \(\Rightarrow\begin{cases}x+y=2\\xy=\frac{1}{4}\end{cases}\)
Ta có vế trái : \(\frac{x}{1+\sqrt{x}}+\frac{y}{1-\sqrt{y}}=\frac{x-x\sqrt{y}+y+y\sqrt{x}}{\left(1+\sqrt{x}\right)\left(1-\sqrt{y}\right)}=\frac{\left(x+y\right)-\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}{\left(1+\sqrt{x}\right)\left(1+\sqrt{y}\right)}\)
Xét tử số : \(\left(x+y\right)-\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)=2-\frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{3}+1}{2}-\frac{\sqrt{3}-1}{2}\right)=\frac{3}{2}\)
Xét mẫu số : \(\left(1+\sqrt{x}\right)\left(1-\sqrt{y}\right)=\left(1+\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)\left(1-\frac{\sqrt{3}-1}{2}\right)=\left(1+\frac{1}{2}\right)^2-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=\frac{3}{2}\)
Vậy : \(\frac{x}{1+\sqrt{x}}+\frac{y}{1-\sqrt{y}}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}}=1\) hay \(\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{1+\sqrt{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}}+\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{1-\sqrt{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}}=1\) (đpcm)
Xét biểu thức : \(\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}>\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\frac{2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}{\left(\sqrt{n+1}\right)^2-\left(\sqrt{n}\right)^2}=2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\)với n > 0
Áp dụng : \(\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2024}}>2\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{2025}-\sqrt{2024}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2024}}>2\left(\sqrt{2025}-1\right)=88\) (đpcm)