Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a)
Cho hai mặt phẳng \(\left( P \right),\left( Q \right)\) song song với nhau và đường thẳng \(a\) vuông góc với \(\left( P \right)\). Ta cần chứng minh \(a \bot \left( Q \right)\).
Trên \(\left( P \right)\) lấy hai đường thẳng \(b,c\) cắt nhau, trên \(\left( Q \right)\) lấy hai đường thẳng \(b',c'\) sao cho \(b'\parallel b,c'\parallel c\).
Vì \(b,c\) cắt nhau nên \(b',c'\) cắt nhau.
\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}a \bot \left( P \right) \Rightarrow a \bot b,a \bot c\\b\parallel b',c\parallel c'\end{array} \right\} \Rightarrow a \bot b',a \bot c'\\ \Rightarrow a \bot \left( Q \right)\end{array}\)
b)
Cho hai mặt phẳng \(\left( P \right),\left( Q \right)\) cùng vuông góc với mặt phẳng \(\left( R \right)\). Ta cần chứng minh \(\left( P \right)\parallel \left( Q \right)\) hoặc \(d \bot \left( R \right)\) với \(d = \left( P \right) \cap \left( Q \right)\).
Vì \(\left( P \right) \bot \left( R \right)\) nên tồn tại đường thẳng \(a \subset \left( P \right)\) sao cho \(a \bot \left( R \right)\), \(\left( Q \right) \bot \left( R \right)\) nên tồn tại đường thẳng \(b \subset \left( Q \right)\) sao cho \(b \bot \left( R \right)\)
\( \Rightarrow a\parallel b\)
Vậy \(\left( P \right)\parallel \left( Q \right)\) hoặc nếu \(\left( P \right),\left( Q \right)\) cắt nhau theo giao tuyến \(d\) thì \(d\parallel a \Rightarrow d \bot \left( R \right)\).
a) Sai
Sửa lại: "Đường thẳng Δ là đường thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b nếu Δ cắt cả a và b, đồng thời Δ ⊥ a và Δ ⊥ b"
b) Đúng
c) Đúng
d) Sai
Sửa lại: Đường thẳng đi qua M trên a và vuông góc với a, đồng thời cắt b tại N và vuông góc với b thì đó là đường vuông góc chung của a và b.
e) Sai.
Cho đường thẳng \(a\) không vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right)\). Ta cần chứng minh tồn tại duy nhật mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa đường thẳng \(a\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right)\).
• Lấy điểm \(A \in a\). Qua điểm \(A\) kẻ đường thẳng \(b\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right)\).
\(\left. \begin{array}{l}b \bot \left( Q \right)\\b \in mp\left( {a,b} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow mp\left( {a,b} \right) \bot \left( Q \right)\)
Vậy tồn tại mặt phẳng chứa đường thẳng \(a\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right)\).
• Giả sử có thêm mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa đường thẳng \(a\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right)\).
\( \Rightarrow a = \left( P \right) \cap mp\left( {a,b} \right)\)
Theo Bài tập 3b trang 99 ta có \(a \bot \left( Q \right)\), trái với giả thiết \(a\) không vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right)\).
Vậy \(\left( P \right) \equiv mp\left( {a,b} \right)\).
a) Đúng
b) Đúng
c) Sai (vì a có thể nằm trong mp(α), xem hình vẽ)
d) Sai, chẳng hạn hai mặt phẳng (α) và (β) cùng đi qua đường thẳng a và a ⊥ mp(P) nên (α) và (β) cùng vuông góc với mp(P) nhưng (α) và (β) cắt nhau.
e) Sai, chẳng hạn a và b cùng ở trong mp(P) và mp(P) ⊥ d. Lúc đó a và b cùng vuông góc với d nhưng a và b có thể không song song nhau.
Khẳng định (1) đúng vì khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau là đoạn ngắn nhất trong các đoạn thẳng nối hai điểm bất kì nằm trên hai đường thẳng ấy và ngược lại (xem mục c). Tính chất của khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (Bài 5 – chương III).
Khẳng định (2) sai vì qua một điểm có vô số mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
Khẳng định (3) sai vì trong trường hợp đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì ta có vô số mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước vì bất kì mặt phẳng nào chứa đường thẳng cũng đều vuông góc với mặt phẳng cho trước. Để có khẳng định đúng ta phải nói: Qua một đường thẳng không vuông góc với một mặt phẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đã cho.
Khẳng định (4) sai vì đường vuông góc chung của hai đường thẳng phải cắt cả hai đường ấy.
Vậy có một khẳng định đúng.
ĐÁP ÁN A
a) SA ⊥ (ABCD), SA ⊂ (SAB) ⇒ (SAB) ⊥ (ABCD)
SA ⊥ (ABCD), SA ⊂ (SAD) ⇒ (SAD) ⊥ (ABCD)
SA ⊥ (ABCD)⇒SA ⊥ BD ⊂(ABCD) và BD ⊥ AC(hai đường chéo hình vuông)
⇒BD ⊥ (SA,AC)⇒BD ⊥ (SAC) mà BD ⊂(ABCD) nên (SAC) ⊥ (ABCD)
b) BD ⊥ (SAC) mà BD ⊂(SBD) nên (SAC) ⊥ (SBD)
Hai mặt phẳng (α) và (β) không thể trùng nhau vì nếu chúng trùng nhau thì từ một điểm C ta dựng được hai đường thẳng CA, CB cùng vuông góc với một mặt phẳng, điều đó là vô lí.
Mặt khác (α) và (β) cũng không song song với nhau.
Vì nếu (α) // (β), thì từ CB ⊥ (β) ta suy ra CB ⊥ (α)
Như vậy từ một điểm C ta dựng được hai đường thẳng CA, CB cùng vuông góc với (α), điều đó là vô lí.
Vậy (α) và (β) là hai mặt phẳng không trùng nhau, không song song với nhau và chúng phải cắt nhau theo giao tuyến d, nghĩa là d = (α) ∩ (β)
Từ (1) và (2) suy ra d ⊥ (ABC).
Cho hai mặt phẳng \(\left( P \right),\left( Q \right)\) vuông góc với nhau. Ta cần chứng minh tồn tại một đường thẳng \(a \subset \left( P \right)\) sao cho \(a \bot \left( Q \right)\).
Gọi \(d = \left( P \right) \cap \left( Q \right)\). Lấy \(M \in \left( P \right),N \in \left( Q \right)\) sao cho \(M,N \notin d\).
Gọi góc \(\widehat {aOb}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \(\left[ {M,d,N} \right]\).
Vì \(\left( P \right) \bot \left( Q \right)\) nên góc nhị diện đó là góc nhị diện vuông. Vậy \(\widehat {aOb} = {90^ \circ } \Rightarrow a \bot b\).
Mà \(a \bot d\)
\( \Rightarrow a \bot \left( Q \right)\)