Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a/ Đẳng thức bạn ghi nhầm rồi, đây là công thức rất quen thuộc:
\(1^3+2^3+...+n^3=\frac{n^2\left(n+1\right)^2}{4}\)
Với \(n=1;2\) ta thấy đúng
Giả sử đẳng thức cũng đúng với \(n=k\) hay:
\(1^3+2^3+...+k^3=\frac{n^2\left(n+1\right)^2}{4}\)
Ta cần chứng minh nó cũng đúng với \(n=k+1\) hay:
\(1^3+2^3+...+k^3+\left(k+1\right)^3=\frac{\left(k+1\right)^2\left(k+2\right)^2}{4}\)
Thật vậy, ta có:
\(1^3+2^3+...+k^3+\left(k+1\right)^3=\frac{k^2\left(k+1\right)^2}{4}+\left(k+1\right)^3\)
\(=\left(k+1\right)^2\left[\frac{k^2}{4}+k+1\right]=\left(k+1\right)^2\left(\frac{k^2+4k+4}{4}\right)\)
\(=\frac{\left(k+1\right)^2\left(k+2\right)^2}{4}\) (đpcm)
b/
Ta thấy đẳng thức đúng với \(n=1;2\)
Giả sử nó cũng đúng với \(n=k\) hay:
\(1+3+...+\left(2k-1\right)=k^2\)
Ta cần chứng minh nó đúng với \(n=k+1\) hay:
\(1+3+...+\left(2k-1\right)+\left(2k+1\right)=\left(k+1\right)^2\)
Thật vậy, ta có:
\(1+3+...+\left(2k-1\right)+\left(2k+1\right)\)
\(=k^2+2k+1=\left(k+1\right)^2\) (đpcm)
a;Chia n cả tử và mẫu
b;Chia cho n4 mà tử dần đến 0 mẫu dần đến 1 nên lim =0
\(=lim\frac{n\sqrt{1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}}-n\sqrt{4-\frac{2}{n^2}}}{n\left(1+\frac{3}{n}\right)}=\frac{\sqrt{1+0+0}-\sqrt{4-0}}{1+0}=-1\)
\(=lim\frac{3\left(\frac{3}{7}\right)^n-\frac{1}{4}.\left(\frac{2}{7}\right)^n-5.\left(\frac{1}{7}\right)^n}{3+6.\left(\frac{1}{7}\right)^n}=\frac{3.0-\frac{1}{4}.0-5.0}{3+6.0}=0\)
\(=lim\frac{2n-4}{3n+\sqrt{9n^2-2n+4}}=lim\frac{2-\frac{4}{n}}{3+\sqrt{9-\frac{2}{n}+\frac{4}{n^2}}}=\frac{2}{3+\sqrt{9}}=\frac{1}{3}\)
Em học lớp 8 thôi :)) Cái này em k chắc lắm ạ, có gì sai anh chỉ nhé !
Gợi ý :
3) \(n^3+11n=n\cdot\left(n^2+11\right)=n\cdot\left(n^2-1+12\right)\)
\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)+12n⋮6\)
1) \(Có:2^n-2n-1=2\left(2^{n-1}-1\right)-1>0\forall n\ge3\)
nên : \(2^n>2n+1\)
lim\(\frac{3n^2+n-5}{2n^2+1}\)=lim\(\frac{n^2\left(3+\frac{1}{n}-\frac{5}{n^2}\right)}{n^2\left(2+\frac{1}{n}\right)}\)=\(\frac{3}{2}\)
lim\(\frac{\sqrt{9n^2-n}+1}{4n-2}\)=lim\(\frac{n\sqrt{9-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}}{n\left(4-\frac{2}{n}\right)}\)=lim\(\frac{\sqrt{9}}{4}\)=\(\frac{3}{2}\)
- Với \(n=1\) đúng
- Giả sử đúng với \(n=k\) hay: \(1^2+...+\left(2k-1\right)^2=\frac{k\left(4k^2-1\right)}{3}=\frac{k\left(2k-1\right)\left(2k+1\right)}{3}\)
Ta cần chứng minh nó đúng với \(n=k+1\) hay:
\(1^2+...+\left(2k-1\right)^2+\left(2k+1\right)^2=\frac{\left(k+1\right)\left[4\left(k+1\right)^2-1\right]}{3}=\frac{\left(k+1\right)\left(2k+1\right)\left(2k+3\right)}{3}\)
Thật vậy:
\(1^2+...+\left(2k-1\right)^2+\left(2k+1\right)^2=\frac{k\left(2k-1\right)\left(2k+1\right)}{3}+\left(2k+1\right)^2\)
\(=\left(2k+1\right)\left[\frac{k\left(2k-1\right)}{3}+2k+1\right]=\frac{\left(2k+1\right)\left(2k^2+5k+3\right)}{3}\)
\(=\frac{\left(2k+1\right)\left(k+1\right)\left(2k+3\right)}{3}=\frac{\left(k+1\right)\left(2k+1\right)\left(2k+3\right)}{3}\) (đpcm)
Với \(n=0\Rightarrow0-0+0-0+0-0=0⋮24\left(đúng\right)\)
Với \(n=1\Rightarrow1-3+6-7+5-2=0⋮24\left(đúng\right)\)
G/s \(n=k\Rightarrow\left(k^6-3k^5+6k^4-7k^3+5k^2-2k\right)⋮24\)
\(\Rightarrow k\left(k^5-3k^4+6k^3-7k^2+5k-2\right)⋮24\\ \Rightarrow k\left(k+1\right)\left(k^2+k+1\right)\left(k^2-k+2\right)⋮24\)
Với \(n=k+1\), ta cần cm \(\left[\left(k+1\right)^6-3\left(k+1\right)^5+6\left(k+1\right)^4-7\left(k+1\right)^3+5\left(k+1\right)^2-2\left(k+1\right)\right]⋮24\)
Ta có \(\left(k+1\right)^6-3\left(k+1\right)^5+6\left(k+1\right)^4-7\left(k+1\right)^3+5\left(k+1\right)^2-2\left(k+1\right)\)
\(=\left(k+1\right)\left[\left(k+1\right)^5-3\left(k+1\right)^4+6\left(k+1\right)^3-7\left(k+1\right)+5\left(k+1\right)-2\right]\\ =\left(k+1\right)\left(k+1-1\right)\left[\left(k+1\right)^2-\left(k+1\right)+1\right]\left[\left(k+1\right)^2-\left(k+1\right)+2\right]\\ =k\left(k+1\right)\left(k^2+k+1\right)\left(k^2+k+2\right)\)
Mà theo GT quy nạp ta có \(k\left(k+1\right)\left(k^2+k+1\right)\left(k^2+k+2\right)⋮24\)
Vậy ta được đpcm