K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

17 tháng 5 2016

Xét hàm số \(f\left(x\right)=e^x-1-x\)  với \(x\ge0\)

Ta có : \(f'\left(x\right)=e^x-1\ge0\) với mọi  \(x\ge0\) 

và      : \(f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow x=0\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)\) đồng biến với  \(x\ge0\) nên với  \(x\ge0\Leftrightarrow f\left(x\right)\ge f\left(0\right)=0\)

hay \(e^x-1-x\ge0\) với mọi  \(x\ge0\)   
17 tháng 5 2016

Xét hàm số : \(f_n\left(x\right)=e^x-1-x-\frac{x^2}{2}-.......-\frac{x^n}{n!}\)

Ta sẽ chứng minh \(f_n\left(x\right)\ge0\)  (*) với mọi \(x\ge;n\in N\)

* Với \(n=1:f_1\left(x\right)=e^x-1-x\Rightarrow f_1'\left(x\right)=e^x-1\ge0\) và \(f'\left(x\right)=0\) khi x = 0

\(\Rightarrow\) Hàm số \(f_1\left(x\right)\) đồng biến với \(x\ge0\Rightarrow f_1\left(x\right)\ge f_1\left(0\right)=0\)

Vậy (*) đúng với n = 1

* Giả sử (*) đúng với n = k hay \(f_k\left(x\right)\ge0\), ta cần chứng minh (*) đúng với \(n=k+1\) hay \(f_{k+1}9x=e^x-1-x-\frac{x^2}{2}-...-\frac{x^k}{k!}-\frac{x^{k+1}}{\left(k+1\right)!}\ge0\)

Thật vậy :

\(f_{k+1}'\left(x\right)=e^x-1-x-\frac{x^k}{k!}=f_k\left(x\right)\ge0\) (theo giả thiết quy nạp và \(f'_{k+1}\left(0\right)\ge f_{k+1}\left(0\right)=0\)khi \(x=0\)

\(\Rightarrow\) hàm số \(f_{k+1}\left(x\right)\) đồng biến với mọi \(x\ge0\Rightarrow f_{k+1}\left(x\right)\ge f_{k+1}\left(0\right)=0\) Vậy (*) đúng với n = k+1

Theo phương pháp quy nạp \(\Rightarrow e^x\ge1+x+\frac{x^2}{2}+..+\frac{x^n}{n!}\) với mọi \(x\ge0;n\in N\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 5 2021

Bài 1:

Vì $a\geq 1$ nên:

\(a+\sqrt{a^2-2a+5}+\sqrt{a-1}=a+\sqrt{(a-1)^2+4}+\sqrt{a-1}\)

\(\geq 1+\sqrt{4}+0=3\)

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=1$

 

AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 5 2021

Bài 2:
ĐKXĐ: x\geq -3$

Xét hàm:

\(f(x)=x(x^2-3x+3)+\sqrt{x+3}-3\)

\(f'(x)=3x^2-6x+3+\frac{1}{2\sqrt{x+3}}=3(x-1)^2+\frac{1}{2\sqrt{x+3}}>0, \forall x\geq -3\)

Do đó $f(x)$ đồng biến trên TXĐ

\(\Rightarrow f(x)=0\) có nghiệm duy nhất

Dễ thấy pt có nghiệm $x=1$ nên đây chính là nghiệm duy nhất.

17 tháng 5 2016

 

\(e^x\ge x+1\) với mọi \(x\in R\) \(\Leftrightarrow e^x-x-1\ge0\) với mọi \(x\in R\)

Xét hàm số \(f\left(x\right)=e^x-x-1\) với mọi \(x\in R\)

Ta có : \(f'\left(x\right)=e^x-1=0\Leftrightarrow x=0\)

và : \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(e^x-x-1\right)=+\infty\)

        \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(e^x-x-1\right)=+\infty\)

Xét bảng biến thiên :

x f'(x) f(x) 8 8 8 8 - + + + 0 0 0 - +

Từ bảng biến thiên ta có : \(f\left(x\right)\ge0\) với mọi \(x\in R\)

                              hay : \(e^x-x-1\ge0\) với mọi  \(x\in R\)

=> Điều phải chứng minh  

 

8 tháng 8 2018

Xét hàm số h(x) trên [0; + ∞ )

Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12

Dấu “=” xẩy ra chỉ tại x = 0 nên h(x) đồng biến trên nửa khoảng [0; + ∞ ).

Vì h(x) = 0 nên

Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12

Hay

Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12

Xét hàm số trên f(x) trên [0; + ∞ );

Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12

Vì g(0) = 0 và g(x) đồng biến trên nửa khoảng [0; + ∞ ) nên g(x) ≥ 0, tức là f′(x)  ≥ 0 trên khoảng đó và vì dấu “=” xảy ra chỉ tại x = 0 nên f(x) đồng biến trên nửa khoảng .

Mặt khác, ta có f(0) = 0 nên

Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12

Với mọi 0 < x < +

10 tháng 7 2017

a) Xét hàm số f(x) = tanx − sinx trên nửa khoảng [0; π/2);

Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12

x ∈ [0;1/2)

Dấu “=” xảy ra khi x = 0.

Suy ra f(x) đồng biến trên nửa khoảng [0; π/2)

Mặt khác, ta có f(0) = 0, nên f(x) = tanx – sinx > 0 hay tanx > sinx với mọi x ∈ [0; 1/2)

b) Xét hàm số h(x) trên [0; + ∞ )

Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12

Dấu “=” xẩy ra chỉ tại x = 0 nên h(x) đồng biến trên nửa khoảng [0;  + ∞ ).

Vì h(x) = 0 nên

Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12

Hay

Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12

Xét hàm số trên f(x) trên [0;  + ∞ );

Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12

Vì g(0) = 0 và g(x) đồng biến trên nửa khoảng [0;  + ∞ ) nên g(x) ≥ 0, tức là f′(x) ≥ 0 trên khoảng đó và vì dấu “=” xảy ra chỉ tại x = 0 nên f(x) đồng biến trên nửa khoảng .

Mặt khác, ta có f(0) = 0 nên

Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12

Với mọi 0 < x <  + ∞ .

3 tháng 3 2019

Xét hàm số y = f(x) = tanx – x trên khoảng (0; π/2)

Ta có: y’ = Giải bài 5 trang 10 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12 > 0 với ∀ x ∈ R.

⇒ hàm số đồng biến trên khoảng (0; π/2)

⇒ f(x) > f(0) = 0 với ∀ x > 0

hay tan x – x > 0 với ∀ x ∈ (0; π/2)

⇔ tan x > x với ∀ x ∈ (0; π/2) (đpcm).

NV
11 tháng 8 2020

\(\Leftrightarrow\left|cosx\right|\ge cos^2x\)

\(\Leftrightarrow\left|cosx\right|-\left|cosx\right|^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left|cosx\right|\left(1-\left|cosx\right|\right)\ge0\) (1)

Do \(0\le\left|cosx\right|\le1\Rightarrow1-\left|cosx\right|\ge0\) với mọi x

\(\Rightarrow\left(1\right)\) luôn đúng với mọi x (đpcm)

3 tháng 8 2018

Xét hàm số y = g(x) = tanx - x - Giải bài 5 trang 10 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12 trên Giải bài 5 trang 10 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Giải bài 5 trang 10 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Theo kết quả câu a): tanx > x ∀ x ∈ Giải bài 5 trang 10 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

⇒ g'(x) > 0 ∀ x ∈ Giải bài 5 trang 10 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

⇒ y = g'(x) đồng biến trên Giải bài 5 trang 10 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

⇒ g(x) > g(0) = 0 với ∀ x ∈ Giải bài 5 trang 10 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Giải bài 5 trang 10 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12