NT
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
11 tháng 5 2017
Bài 2:
\(a^4+b^4\ge a^3b+b^3a\)
\(\Leftrightarrow a^4-a^3b+b^4-b^3a\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)
ta thấy : \(\orbr{\orbr{\begin{cases}\left(a-b\right)^2\ge0\\\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\end{cases}}}\Leftrightarrow dpcm\)
Dấu " = " xảy ra khi a = b
tk nka !!!! mk cố giải mấy bài nữa !11
A
0
TV
19 tháng 3 2018
Đặt \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=a\)\(\Rightarrow\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)^2=a^2\Rightarrow\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}=a^2-2\)
Ta có \(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+4=a^2-2+4=a^2+2\)
\(3\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)=3a\)
Ta có \(a^2+2-3a=a^2-2.a.\dfrac{3}{2}+\dfrac{9}{4}-\dfrac{1}{4}=\left(a-\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}\)
lạ có \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}-2=\dfrac{x^2}{xy}-\dfrac{2xy}{xy}+\dfrac{y^2}{xy}=\dfrac{\left(x-y\right)^2}{xy}\ge0\)
\(\Rightarrow\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\ge2\)\(\Rightarrow a\ge2\Rightarrow a-\dfrac{3}{2}\ge\dfrac{1}{2}\)\(\Rightarrow\left(a-\dfrac{3}{2}\right)^2\ge\dfrac{1}{4}\Rightarrow\left(a-\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}\ge0\)
\(\Rightarrow a^2+2-3a\ge0\Rightarrow a^2+2\ge3a\Rightarrow\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+4\ge3\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)\)
20 tháng 3 2018
\(\left\{{}\begin{matrix}x;y>0\\\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+4\ge3\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)\end{matrix}\right.\) \(\begin{matrix}\left(1\right)\\\left(2\right)\end{matrix}\)
từ (2) có \(\Leftrightarrow\left(\dfrac{x^2}{y^2}+2.\dfrac{x}{y}.\dfrac{y}{x}+\dfrac{y^2}{x^2}\right)+2-3\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)^2-3\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)+2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left[\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)^2-2\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)\right]-\left[\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)-2\right]\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}-2\right)\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}-1\right)\ge0\) (3)
từ (1) có \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=\left(\sqrt{\dfrac{x}{y}}-\sqrt{\dfrac{y}{x}}\right)^2+2\ge2\) (4)
từ (4) ; \(\left\{{}\begin{matrix}\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}-1\right)>0\\\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}-2\ge0\end{matrix}\right.\) (I)
từ (I) => (3) đúng mọi phép biến đổi là <=> đẳng thức khi \(\dfrac{x}{y}=\dfrac{y}{x}\Rightarrow x=y\)=> dpcm
16 tháng 4 2019
a) \(\text{ }x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\)
\(\Leftrightarrow x^4+y^4-x^3y-xy^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^3\left(x-y\right)-y^3\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\)(ĐPCM)
*NOTE: chứng minh đc vì (x-y)^2 >= 0 ; x^2 +xy +y^2 > 0
S1
16 tháng 4 2019
mình cũng làm đến nơi rồi nhưng sợ x^2+xy+y^2 chưa chắc lớn hơn 0 thanks bạn nhé
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
17 tháng 6 2020
\(P=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{2009}{xy+yz+zx}=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xy+yz+zx}+\frac{1}{xy+yz+zx}+\frac{2007}{xy+yz+zx}\)
\(P\ge\frac{9}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}+\frac{2007}{\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2}\)
\(P\ge\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}+\frac{6021}{\left(x+y+z\right)^2}=\frac{6030}{\left(x+y+z\right)^2}\ge\frac{6030}{3^2}=670\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
OV
16 tháng 6 2020
Áp dụng BĐT Côsi dưới dạng engel, ta có:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z}=\frac{9}{x+y+z}\)
⇒\(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\left(x+y+z\right)\ge\left(x+y+z\right).\frac{9}{x+y+z}\) = 9
Dấu "=" xảy ra ⇔ x = y = z
Y
22 tháng 3 2019
\(\frac{2}{x^2+2y^2+3}\le\frac{1}{xy+x+1}\)
\(\Leftrightarrow x^2+2y^2+3\ge2xy+2y+2\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2y+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-1\right)^2\ge0\)
Vì bđt cuối luôn đúng mà các phép biến đổi trên là tương đương nên bđt ban đầu luôn đúng
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y\\y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=1\)
KB
22 tháng 3 2019
Ta có : \(\frac{1}{a^2+2b^2+3}=\frac{1}{a^2+b^2+b^2+1+2}\le\frac{1}{2ab+2b+2}\) ( AD BĐT Cô si cho a ; b dương ) ( 1 )
Tương tự : \(\frac{1}{b^2+2c^2+3}\le\frac{1}{2bc+2c+2};\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le\frac{1}{2ac+2a+2}\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) ; ( 2 ) \(\Rightarrow P\le\frac{1}{2ab+2b+2}+\frac{1}{2bc+2c+2}+\frac{1}{2ac+2a+2}\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ac+a+1}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{b+1+ab}+\frac{b}{1+ab+b}\right)\left(abc=1\right)\)
\(=\frac{1}{2}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
PN
5 tháng 7 2020
Áp dụng bđt Cauchy cho 2 số không âm :
\(x^2+\frac{1}{x}\ge2\sqrt[2]{\frac{x^2}{x}}=2.\sqrt{x}\)
\(y^2+\frac{1}{y}\ge2\sqrt[2]{\frac{y^2}{y}}=2.\sqrt{y}\)
Cộng vế với vế ta được :
\(x^2+y^2+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge2.\sqrt{x}+2.\sqrt{y}=2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\)
Vậy ta có điều phải chứng mình
5 tháng 7 2020
Ta đi chứng minh:\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)* đúng *
Khi đó:
\(\frac{1}{a^3+b^3+abc}\le\frac{1}{ab\left(a+b\right)+abc}=\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}=\frac{c}{abc\left(a+b+c\right)}\)
Tương tự:
\(\frac{1}{b^3+c^3+abc}\le\frac{a}{abc\left(a+b+c\right)};\frac{1}{c^3+a^3+abc}\le\frac{b}{abc\left(a+b+c\right)}\)
\(\Rightarrow LHS\le\frac{a+b+c}{abc\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{abc}\)
\(A=\frac{3}{2}-\frac{x^2}{x^2+x+1}=\frac{3x^2+3x+3-2x^2}{x^2+x+1}=\frac{x^2+3x+3}{x^2+x+1}=\frac{\left(x+\frac{3}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}>0\forall x\)