Question

[Vũ Tiền Châu]

cho x,y,z>0 và \(x^2+y^2+z^2=3\). Chứng minh rằng

\(A=\sqrt{\dfrac{x^2}{x^2+y+z}}+\sqrt{\dfrac{y^2}{y^2+x+z}}+\sqrt{\dfrac{z^2}{z^2+x+y}}\le\sqrt{3}\)

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\((x^2+y+z)(1+y+z)\geq (x+y+z)^2\Rightarrow x^2+y+z\geq \frac{(x+y+z)^2}{1+y+z}\)

\(\Rightarrow \sqrt{\frac{x^2}{x^2+y+z}}\leq \sqrt{\frac{x^2(1+y+z)}{(x+y+z)^2}}=\frac{x\sqrt{1+y+z}}{x+y+z}\)

Thực hiện tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế:

\(\Rightarrow A\leq \frac{x\sqrt{1+y+z}+y\sqrt{1+x+z}+z\sqrt{x+y+1}}{x+y+z}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\((x\sqrt{y+z+1}+y\sqrt{x+z+1}+z\sqrt{x+y+1})^2\leq (x+y+z)(xy+xz+x+yx+yz+y+zx+zy+z)\)

\((x\sqrt{y+z+1}+y\sqrt{x+z+1}+z\sqrt{x+y+1})^2\leq (x+y+z)[2(xy+yz+xz)+x+y+z]\) (1)

Theo BĐT AM-GM:
\((x+y+z)^2\geq 3(xy+yz+xz)=(x^2+y^2+z^2)(xy+yz+xz)\geq (xy+yz+xz)^2\)

\(\Rightarrow x+y+z\geq xy+yz+xz\) (2)

Từ \((1),(2)\Rightarrow (x\sqrt{y+z+1}+y\sqrt{x+z+1}+z\sqrt{x+y+1})^2\leq (x+y+z).3(x+y+z)=3(x+y+z)^2\)

\(\Leftrightarrow x\sqrt{y+z+1}+y\sqrt{x+z+1}+z\sqrt{x+y+1}\leq \sqrt{3}(x+y+z)\)

\(\Rightarrow A\leq \frac{\sqrt{3}(x+y+z)}{x+y+z}=\sqrt{3}\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=1\)