Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Mik ms làm lần đâu sai thì thôi nha :
Để P nhỏ nhất thì
\(y^2+z^2+z^2+x^2+y^2+x^2\)
\(=\left(y^2+x^2+z^2\right)+z^2+x^2+y^2\)
\(=1+x^2+y^2+z^2\ge1\)
\(P=\frac{x^2}{x^2+2yz}+\frac{y^2}{y^2+2xz}+\frac{z^2}{z^2+2xy}\)
\(P=\frac{\left[\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+2yz}}\right)^2+\left(\frac{y}{\sqrt{y^2+2xz}}\right)^2+\left(\frac{z}{\sqrt{z^2+2xy}}\right)^2\right]\left[\sqrt{x^2+2yz}^2+\sqrt{y^2+2xz}^2+\sqrt{z^2+2xy}^2\right]}{x^2+2yz+y^2+2xz+z^2+2xy}\)
\(P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=1\)(Bunyakovski)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\frac{x}{x^2+2yz}=\frac{y}{y^2+2xz}=\frac{z}{z^2+2xy}\Leftrightarrow x=y=z\)
Vậy GTNN P=1 <=> x=y=z
Ngay ở trên hai cái [...] [...] nhân với nhau ấy, tại nó dài quá
Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz dạng phân thức, ta có :
\(P=\)\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{y+z+x+z+x+y}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2x+2y+2z}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2.\left(x+y+z\right)}=\frac{2^2}{2.2}=1\)
Dấu " = ' xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=z\)
Vậy : \(MinP=1\)\(\Leftrightarrow x=y=z\)
\(A=\left(x+y+z+\frac{1}{4x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{4z}\right)+\frac{3}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(\ge2\sqrt{x.\frac{1}{4x}}+2\sqrt{y.\frac{1}{4y}}+2\sqrt{z.\frac{1}{4z}}+\frac{3}{4}\left(\frac{9}{x+y+z}\right)\)
\(\ge1+1+1+\frac{3}{4}.\frac{9}{\frac{3}{2}}=\frac{15}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 1/2
Vậy min A = 15/2 tại x = y = z = 1/2
Lời giải của em ạ :D
\(A=x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)
\(\ge x+y+z+\frac{9}{x+y+z}\)
Đặt \(t=x+y+z\le\frac{3}{2}\)
Khi đó \(A=t+\frac{9}{t}=\left(t+\frac{9}{4t}\right)+\frac{27}{4t}\ge3+\frac{27}{4\cdot\frac{3}{2}}=\frac{15}{2}\)
Đẳng thức xảy ra tại x=y=z=1/2
Câu này đề bài có vấn đề nhé.
1. x , y,z > 1 thì không thể có x+ y +z =1.
2. Gỉa sử x, y, x > 0. Ví dụ lấy \(x=0,99999999\), \(z=5.10^{-9}\),\(y=5.10^{-9}\)
ta thấy M sẽ rất nhỏ. Khi x càng dần 1, z,y càng dần tới 0 thì M càng nhỏ, nên ko tìm GTNN của M đc.
FZ xem lại em nhé.
ta có \(\frac{1}{x}+\frac{4}{2y}+\frac{9}{3z}=6\)
Mà \(\frac{1}{x}+\frac{4}{2y}+\frac{9}{3z}\ge\frac{36}{x+2y+3z}\Rightarrow6\ge\frac{36}{x+2y+3z}\Rightarrow x+2y+3z\ge6\)
MÀ \(y^2+1\ge2y;z^3+1+1\ge3z\)
=> A+3\(\ge\left(x+2y+3z\right)=6\) => A>=3
dấu = xảy ra <=> x=y=z
Áp dụng BĐT Cô-si dạng Engel,ta có :
\(P=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}=1\)