Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đề bài chắc chắn là có vấn đề
Thử với \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\) thì \(VT=\dfrac{\sqrt{2}}{4}< 2\)
Như bạn sửa điều kiện thành \(x^3+y^3+z^3=1\) thì dấu "=" không xảy ra
Việc chứng minh vế trái lớn hơn 2 (một cách tuyệt đối) khá đơn giản:
\(\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}=\dfrac{x^3}{x\sqrt{1-x^2}}\ge\dfrac{x^3}{\dfrac{x^2+1-x^2}{2}}=2x^3\)
Làm tương tự với 2 số hạng còn lại, sau đó cộng vế
Nhưng đẳng thức không xảy ra.
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
\(y+2\ge\left(2-x\right)\left(2-z\right)\left(2-y\right)\).
Theo bất đẳng thức AM - GM: \(\left(2-x\right)\left(2-z\right)\le\dfrac{\left(4-x-z\right)^2}{4}=\dfrac{\left(2-y\right)^2}{4}\).
Do đó ta chỉ cần chứng minh:
\(y+2\ge\dfrac{\left(2-y\right)^3}{4}\).
Mặt khác, bđt trên tương đương: \(\dfrac{y\left[\left(y-3\right)^2+7\right]}{4}\ge0\) (luôn đúng).
Do đó bđt ban đầu cũng đúng.
Đẳng thức xảy ra khi y = 0; x = z = 1.
có: \(x\left(2x-3\right)^2\ge0\Leftrightarrow4x^3-12x^2+9x\ge0\Leftrightarrow4x^3-12x^2+12x-4\ge3x-4\)
\(\Leftrightarrow4\left(x-1\right)^3\ge3x-4\)
\(\Leftrightarrow\left(1-x\right)^3\le1-\frac{3}{4}x\).
tương tự và cộng lại ta có ngay đpcm.
Dấu = xảy ra khi 2 số bằng 1,5; 1 số bằng 0
\(\left\{{}\begin{matrix}x;y;z\ge0\\x+y+z=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow0\le x;y;z\le1\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2\le x\\y^2\le y\\z^2\le z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x^2+x+1\le x^2+2x+1\\2y^2+y+1\le y^2+2y+1\\2z^2+z+1\le z^2+2z+1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow P\le\sqrt{\left(x+1\right)^2}+\sqrt{\left(y+1\right)^2}+\sqrt{\left(z+1\right)^2}=x+y+z+3=4\)
\(P_{max}=4\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;1\right)\) và các hoán vị
đặt\(A=\dfrac{x^3}{2x+3y+5z}+\dfrac{y^3}{2y+3z+5x}+\dfrac{z^3}{2z+3x+5y}\)
\(=>A=\dfrac{x^4}{2x^2+3xy+5xz}+\dfrac{y^4}{2y^2+3yz+5xy}+\dfrac{z^4}{2z^2+3xz+5yz}\)
BBDT AM-GM
\(=>A\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+xz\right)}\)
theo BDT AM -GM ta chứng minh được \(xy+yz+xz\le x^2+y^2+z^2\)
vì \(x^2+y^2\ge2xy\)
\(y^2+z^2\ge2yz\)
\(x^2+z^2\ge2xz\)
\(=>2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+xz\right)< =>xy+yz+xz\le x^2+y^2+z^2\)
\(=>2\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+xz\right)\le10\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(=>A\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{10\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{10}=\dfrac{\dfrac{1}{3}}{10}=\dfrac{1}{30}\left(đpcm\right)\)
dấu"=" xảy ra<=>x=y=z=1/3
Chứng minh $x+2y+z\geq 4(1-x)(1-y)(1-z)$ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học
CMR a+2b+c >= 4(1-a)(1-b)(1-c) - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học
bạn có thể giải giúp mình bài toán nay ko. giúp mình nha