Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{y+z+1}{x}=\frac{x+z+2019}{y}=\frac{x+y-2020}{z}=\frac{y+z+1+x+z+2019+x+y-2020}{x+y+z}=\frac{2\left(x+y+z\right)}{x+y+z}=2\)
\(\Rightarrow2=\frac{1}{x+y+z}\)\(\Rightarrow x+y+z=\frac{1}{2}\)
Ta có:
+) \(\frac{y+z+1}{x}=2\)\(\Rightarrow y+z+1=2x\)\(\Rightarrow x+y+z+1=3x\)\(\Rightarrow\frac{1}{2}+1=3x\)\(\Rightarrow3x=\frac{3}{2}\)\(\Rightarrow x=\frac{1}{2}\)
+) \(\frac{x+z+2019}{y}=2\)\(\Rightarrow x+z+2019=2y\)\(\Rightarrow x+y+z+2019=3y\)\(\Rightarrow\frac{1}{2}+2019=3y\)\(\Rightarrow3y=\frac{4039}{2}\)\(\Rightarrow y=\frac{4039}{6}\)
+) \(\frac{x+y-2020}{z}=2\)\(\Rightarrow x+y-2020=2z\)\(\Rightarrow x+y+z-2020=3z\)\(\Rightarrow\frac{1}{2}-2020=3z\)\(\Rightarrow3z=\frac{-4039}{2}\)\(\Rightarrow z=\frac{-4039}{6}\)
Lại có: \(A=2016x+y^{2017}+z^{2017}=2016.\frac{1}{2}+\left(\frac{4039}{6}\right)^{2017}+\left(\frac{-4039}{6}\right)^{2017}=4032+\left(\frac{4039}{6}\right)^{2017}-\left(\frac{4039}{6}\right)^{2017}=4032\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có: \(\left(x-1\right)^2\ge0\forall x\)
\(\left|3y-1\right|\ge0\forall y\)
\(\left|z+2\right|\ge0\forall z\)
Do đó: \(\left(x-1\right)^2+\left|3y-1\right|+\left|z+2\right|\ge0\forall x,y,z\)
Dấu '=' xảy ra khi \(\left(x,y,z\right)=\left(1;\dfrac{1}{3};-2\right)\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Với điều kiện x + y + z = 0, ta có thể giả sử x = a, y = -a và z = 0, với -1 ≤ a ≤ 1.
Thay các giá trị vào đa thức, ta có:
x^2 + y^4 + z^4 = a^2 + (-a)^4 + 0^4 = a^2 + a^4.
Để tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức này, ta xét đạo hàm của nó theo a:
f'(a) = 2a + 4a^3
Để tìm điểm cực tiểu, ta giải phương trình f'(a) = 0:
2a + 4a^3 = 0 a(1 + 2a^2) = 0
Vì -1 ≤ a ≤ 1, nên ta có hai giá trị a = 0 và a = ±1/√2.
Ta tính giá trị của đa thức tại các điểm cực tiểu:
f(0) = 0^2 + 0^4 = 0
f(1/√2) = (1/√2)^2 + (1/√2)^4 ≈ 0.8536
f(-1/√2) = (-1/√2)^2 + (-1/√2)^4 ≈ 0.8536
Như vậy, giá trị nhỏ nhất của đa thức là khoảng 0.8536, lớn hơn 2. Do đó, ta có thể kết luận rằng đa thức x^2 + y^4 + z^4 có giá trị k lớn hơn 2.
Cho số thực x thỏa mãn \(^{x^2-4x+1=0}\)Tính giá trị của biểu thức \(G=\frac{x^2}{x^4+1}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(x^2-4x+1=0\)
( a = 1 ; b = -4 ; c =1 )
\(\Delta=b^2-4ac\)
\(=\left(-4\right)^2-4.1.1\)
\(=16-4\)
\(=12>0\)
\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\)
Vì \(\Delta>0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt
\(x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{4+2\sqrt{3}}{2.1}=2+\sqrt{3}\)
\(x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{4-2\sqrt{3}}{2.1}=2-\sqrt{3}\)
Ta có : \(G=\frac{x^2}{x^4+1}\)
. Thay \(x_1\) vào ta được : \(G=\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)^2}{\left(2+\sqrt{3}\right)^4+1}\)
\(=\frac{4+4\sqrt{3}+3}{\left(4+4\sqrt{3}+3\right)^2+1}\)
\(=\frac{4\sqrt{3}+7}{\left(4\sqrt{3}+7\right)^2+1}\)
\(=\frac{4\sqrt{3}+7}{48+56\sqrt{3}+49+1}\)
\(=\frac{4\sqrt{3}+7}{56\sqrt{3}+98}\)
\(=\frac{4\sqrt{3}+7}{14.\left(4\sqrt{3}+7\right)}\)
\(=\frac{1}{14}\)
.Thay \(x_2\) vào ta được : \(G=\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)^2}{\left(2-\sqrt{3}\right)^4+1}\)
\(=\frac{4-4\sqrt{3}+3}{\left(4-4\sqrt{3}+3\right)^2+1}\)
\(=\frac{7-4\sqrt{3}}{\left(7-4\sqrt{3}\right)^2+1}\)
\(=\frac{7-4\sqrt{3}}{49-56\sqrt{3}+48+1}\)
\(=\frac{7-4\sqrt{3}}{98-56\sqrt{3}}\)
\(=\frac{7-4\sqrt{3}}{14.\left(7-4\sqrt{3}\right)}=\frac{1}{14}\)
Vậy giá trị của biểu thức là 1/14
Câu hỏi của Winkies:bạn tham khảo tại đây nhé!