NM
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
T
17 tháng 1 2021
Lần sau bạn chú ý dùng chức năng Gõ công thức trực quan để người đọc dễ hiểu để bài nhé. Không hiểu không ai giúp bạn đâu.
Câu hỏi đã được hỏi nhiều lần, có thể xem tại: Cho x,y,z >0 t/m x y z=xyz. C/m \(\dfrac{1 \sqrt{1 x^2}}{x} \dfrac{1 \sqrt{1 y^2}}{y} \dfrac{1 \sqrt{1 z^2}}{z}\le xyz\) - Hoc24
15 tháng 7 2017
từ \(x+y+z=xyz\Rightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=1\)
\(\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\right)\rightarrow\left(a,b,c\right)\)\(\Rightarrow ab+bc+ca=1\)
Thay vào \(\sqrt{x^2+1}\) r` phân tích nhân tử áp dụng C-S là ra :3
AH
Akai Haruma
Giáo viên
14 tháng 8 2018
Bài 1:
\((x,y,z)=(\frac{2a^2}{bc}; \frac{2b^2}{ca}; \frac{2c^2}{ab})\) (\(a,b,c>0\) )
Khi đó:
\(\text{VT}=\frac{\frac{4a^4}{b^2c^2}}{\frac{4a^4}{b^2c^2}+\frac{4a^2}{bc}+1}+\frac{\frac{4b^4}{c^2a^2}}{\frac{4b^4}{c^2a^2}+\frac{4b^2}{ca}+4}+\frac{\frac{4c^4}{a^2b^2}}{\frac{4c^4}{a^2b^2}+\frac{4c^2}{ab}+4}\)
\(=\frac{a^4}{a^4+a^2bc+b^2c^2}+\frac{b^4}{b^4+b^2ac+a^2c^2}+\frac{c^4}{c^4+c^2ab+a^2b^2}\)
\(\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^4+b^4+c^4+a^2bc+b^2ac+c^2ab+(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}\)
(Áp dụng BĐT Cauchy_Schwarz)
Theo BĐT Cauchy dễ thấy:
\(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\geq a^2bc+b^2ca+c^2ab\)
\(\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^4+b^4+c^4+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}=\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{(a^2+b^2+c^2)^2}=1\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$ hay $x=y=z=2$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
14 tháng 8 2018
Bài 2:
Đặt \((x,y,z)=\left(\frac{a}{b};\frac{b}{c}; \frac{c}{a}\right)\)
Ta có:
\(\text{VT}=\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{b}-1\right)\left(\frac{b}{c}+\frac{a}{c}-1\right)\left(\frac{c}{a}+\frac{b}{a}-1\right)\)
\(=\frac{(a+c-b)(b+a-c)(c+b-a)}{abc}\)
Áp dụng BĐT Cauchy:
\((a+c-b)(b+a-c)\leq \left(\frac{a+c-b+b+a-c}{2}\right)^2=a^2\)
\((b+a-c)(c+b-a)\leq \left(\frac{b+a-c+c+b-a}{2}\right)^2=b^2\)
\((a+c-b)(c+b-a)\leq \left(\frac{a+c-b+c+b-a}{2}\right)^2=c^2\)
Nhân theo vế:
\(\Rightarrow [(a+c-b)(b+a-c)(c+b-a)]^2\leq (abc)^2\)
\(\Rightarrow (a+c-b)(b+a-c)(c+b-a)\leq abc\)
\(\Rightarrow \text{VT}\leq 1\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$ hay $x=y=z=1$
NP
0
VT
21 tháng 10 2019
Nhân cả 2 vế với xyz bất đẳng thức sẽ thành yz+ xz+xy+yz\(\sqrt{1+x^2}\)+xz\(\sqrt{1+y^2}+xy\sqrt{1+z^2}\le x^2y^2z^2\)
Ta có yz\(\sqrt{1+x^2}=\sqrt{yz}.\sqrt{yz+x^2yz}=\sqrt{yz}.\sqrt{yz+x\left(x+y+z\right)}=\)\(\sqrt{yz}.\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\)\(\le\)\(yz+\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{4}\)(2ab\(\le a^2+b^2\))
làm tương tự ta được xz\(\sqrt{1+x^2}\le xz+\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}{4};xy\sqrt{1+z^2}\le xy+\frac{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{4}.\)
vế trái \(\le\) 2(xy+yz+zx) + \(\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)+\left(y+x\right)\left(y+z\right)+\left(z+x\right)\left(z+y\right)}{4}\)\(\le2.\frac{1}{3}.\left(x+y+z\right)^2+\frac{\frac{1}{3}\left(x+y+y+z+z+x\right)^2}{4}=\left(x+y+z\right)^2=x^2y^2z^2.\)
[ (a-b)2 +(b-c)2 +(c-a)2 \(\ge0\)<=>\(ab+bc+ca\le\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2\) áp dụng vào trên)
dấu '=' xảy ra khi x=y=z \(\sqrt{3}\)
ND
2
31 tháng 7 2017
A(BT)=1/9((9/x+y+1) +(9/y+z+1)+9/(z+x+1)<=1/9(1/x+1/y+1+1/y+1/z+1+1/z+1/x+1)=1/9(2/x+2/y+2/z+3)
=1/9(2.(xy+yz+zx)/xyz)+3=2/9(xy+yz+zx)+1/3<=2/9.3+1/3=1(đpcm)
TN
31 tháng 7 2017
Another way :|
Đặt \(\hept{\begin{cases}a=\sqrt[3]{x}\\b=\sqrt[3]{y}\\c=\sqrt[3]{z}\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=a^3\\y=b^3\\z=c^3\end{cases}}\)và \(xyz=1\Rightarrow\left(abc\right)^3=1\Rightarrow abc=1\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:\(a^3+b^3+1=a^3+b^3+abc\)
\(=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+abc\)
\(\ge ab\left(a+b\right)+abc=ab\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^3+b^3+1}\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}\). Tương tự cũng có:
\(\frac{1}{b^3+c^3+1}\le\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)};\frac{1}{c^3+a^3+1}\le\frac{1}{ca\left(a+b+c\right)}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(VT\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{ca\left(a+b+c\right)}\)
\(=\frac{c}{abc\left(a+b+c\right)}+\frac{a}{abc\left(a+b+c\right)}+\frac{b}{abc\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{abc\left(a+b+c\right)}=1\)
Xảy ra khi \(a=b=c=1\Rightarrow x=y=z=1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
24 tháng 1 2022
\(\sqrt{x\left(1-y\right)\left(1-z\right)}=\sqrt{x\left(yz-y-z+1\right)}=\sqrt{x\left(yz-y-z+x+y+z+2\sqrt{xyz}\right)}\)
\(=\sqrt{x\left(yz+x+2\sqrt{xyz}\right)}=\sqrt{x^2+2x\sqrt{xyz}+xyz}=\sqrt{\left(x+\sqrt{xyz}\right)^2}\)
\(=x+\sqrt{xyz}\)
Tương tự: \(\sqrt{y\left(1-x\right)\left(1-z\right)}=y+\sqrt{xyz}\) ; \(\sqrt{z\left(1-x\right)\left(1-y\right)}=z+\sqrt{xyz}\)
\(\Rightarrow VT=x+y+z+3\sqrt{xyz}=1-2\sqrt{xyz}+3\sqrt{xyz}=1+\sqrt{xyz}\) (đpcm)
Ta có: \(\frac{1}{1+x}=2-\frac{1}{1+y}-\frac{1}{1+z}\)
\(=1-\frac{1}{1+y}+1-\frac{1}{1+z}=\frac{y}{1+y}+\frac{z}{1+z}\)
\(\ge2\sqrt{\frac{yz}{\left(1+y\right)\left(1+z\right)}}\)(BĐT Cô - si)
Tương tự, ta có: \(\frac{1}{1+y}\)\(\ge2\sqrt{\frac{xz}{\left(1+x\right)\left(1+z\right)}}\); \(\frac{1}{1+z}\)\(\ge2\sqrt{\frac{xy}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)}}\)
Nhân từng vế của các bđt trên, ta được:
\(\frac{1}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}\ge8.\frac{xyz}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}\)
\(\Rightarrow8xyz\le1\Rightarrow xyz\le\frac{1}{8}\)
(Dấu "="\(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{2}\))