K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

NV
11 tháng 7 2021

Đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{a};\dfrac{1}{b};\dfrac{1}{c}\right)\Rightarrow abc=1\)

\(P=\sum\dfrac{a^4}{\left(\dfrac{1}{b}+1\right)\left(\dfrac{1}{c}+1\right)}=\sum\dfrac{a^4bc}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}=\sum\dfrac{a^3}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\)

Ta có:

\(\dfrac{a^3}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}+\dfrac{b+1}{8}+\dfrac{c+1}{8}\ge\dfrac{3a}{4}\)

Tương tự và cộng lại:

\(P+\dfrac{a+b+c}{4}+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3\left(a+b+c\right)}{4}\Rightarrow P\ge\dfrac{a+b+c}{2}-\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{4}\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
11 tháng 7 2021

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM:
$\frac{x^3}{y(x+z)}+\frac{y}{2}+\frac{x+z}{4}\geq \frac{3}{2}x$

Tương tự với các phân thức còn lại, cộng theo vế và rút gọn ta được:

$\Rightarrow P=\sum \frac{x^3}{y(x+z)}\geq \frac{x+y+z}{2}$

Tiếp tục áp dụng AM-GM:

$x+y\geq 2\sqrt{xy}$

$y+z\geq 2\sqrt{yz}$

$x+z\geq 2\sqrt{xz}$

$\Rightarrow x+y+z\geq \sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}=1$

$\Rightarrow P\geq \frac{1}{2}$

Vậy $P_{\min}=\frac{1}{2}$ khi $x=y=z=\frac{1}{3}$

 

NV
11 tháng 7 2021

\(\dfrac{x^3}{y\left(x+z\right)}+\dfrac{y}{2}+\dfrac{x+z}{4}\ge\dfrac{3x}{2}\)

Tương tự và cộng lại:

\(P+x+y+z\ge\dfrac{3}{2}\left(x+y+z\right)\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{1}{2}\left(x+y+z\right)\ge\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)=\dfrac{1}{2}\)

13 tháng 5 2017

Áp dụng bất đẳng thức cauchy:

\(P=\sum\dfrac{x^2\left(y+z\right)}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}\ge\sum\dfrac{2x^2\sqrt{yz}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}=\sum\dfrac{2\sqrt{x^3}\sqrt{xyz}}{\sqrt{y^3}+2\sqrt{z^3}}=\sum\dfrac{2\sqrt{x^3}}{\sqrt{y^3}+2\sqrt{z^3}}\)(vì xyz=1).

đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x^3}=a\\\sqrt{y^3}=b\\\sqrt{z^3}=c\end{matrix}\right.\)(\(a,b,c>0\))thì giả thiết trở thành cho abc=1. tìm Min \(P=\dfrac{2a}{b+2c}+\dfrac{2b}{c+2a}+\dfrac{2c}{a+2b}\)

Áp dụng BĐT cauchy-schwarz:

\(P=2\left(\dfrac{a^2}{ab+2ac}+\dfrac{b^2}{bc+2ab}+\dfrac{c^2}{ac+2bc}\right)\ge\dfrac{2\left(a+b+c\right)^2}{3\left(ab+bc+ca\right)}\ge\dfrac{2\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=2\)( AM-GM \(3\left(ab+bc+ca\right)\le\left(a+b+c\right)^2\))

Dấu = xảy ra khi a=b=c=1 hay x=y=z=1

NV
1 tháng 12 2018

\(\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2x}.\sqrt{y+z}}\ge\dfrac{\sqrt{2}}{\dfrac{2x+y+z}{2}}=\dfrac{2\sqrt{2}}{2x+y+z}\)

\(\Rightarrow A\ge\sum\dfrac{2\sqrt{2}}{2x+y+z}=2\sqrt{2}\sum\dfrac{1}{2x+y+z}\ge2\sqrt{2}.\dfrac{9}{4\left(x+y+z\right)}=\dfrac{18\sqrt{2}}{4.18\sqrt{2}}=\dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow A_{min}=\dfrac{1}{4}\) khi \(x=y=z=6\sqrt{2}\)

1 tháng 12 2018

giúp e câu vừa đăng với ạ

15 tháng 8 2020

dễ mà bạn :))) gáy tí , sai thì thôi

\(P=\frac{x^3}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)}+\frac{y^3}{\left(1+y\right)\left(1+z\right)}+\frac{z^3}{\left(1+z\right)\left(1+x\right)}\)

\(=\frac{x^3\left(1+z\right)}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}+\frac{y^3\left(1+x\right)}{\left(1+y\right)\left(1+x\right)\left(1+z\right)}+\frac{z^3\left(1+y\right)}{\left(1+x\right)\left(1+z\right)\left(1+y\right)}\)

\(=\frac{x^3\left(1+z\right)+y^3\left(1+x\right)+z^3\left(1+y\right)}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}\ge\frac{3\sqrt[3]{x^3y^3z^3\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}\)

đến đây áp dụng BĐT phụ ( 1+a ) ( 1+b ) ( 1+c ) >= 8abc 

EZ :)))

15 tháng 8 2020

nhưng làm thế thì ko bảo toàn đc dấu bất đẳng thức mà

NV
27 tháng 3 2021

Ta có:

\(VT=2+\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x}\)

Do đó ta chỉ cần chứng minh:

\(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{z}\ge\dfrac{2\left(x+y+z\right)}{\sqrt[3]{xyz}}\)

Ta có:

\(\dfrac{x}{y}+\dfrac{x}{y}+1\ge3\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{y^2}}\) 

Tương tự ...

Cộng lại ta có:

\(2\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{z}\right)+6\ge3\left(\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{y^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{y^2}{x^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{y^2}{z^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{z^2}{y^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{z^2}{x^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{z^2}}\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{z}\ge\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{y^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{y^2}{x^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{y^2}{z^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{z^2}{y^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{z^2}{x^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{z^2}}\)

Do đó ta chỉ cần chứng minh:

\(\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{y^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{y^2}{x^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{y^2}{z^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{z^2}{y^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{z^2}{x^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{z^2}}\ge\dfrac{2\left(x+y+z\right)}{\sqrt[3]{xyz}}\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt[3]{\dfrac{x}{y}}-\sqrt[3]{\dfrac{x}{z}}\right)^2+\left(\sqrt[3]{\dfrac{y}{x}}-\sqrt[3]{\dfrac{y}{z}}\right)^2+\left(\sqrt[3]{\dfrac{z}{x}}-\sqrt[3]{\dfrac{z}{y}}\right)^2\ge0\) (luôn đúng)