Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có
\(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge xyz\left(x+y+z\right)\)
\(=>x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+2\left(xyz\right)\left(x+y+z\right)\ge3xyz\left(x+y+z\right)\)
\(=>\left(xy+yz+zx\right)^2\ge3\left(x+y+z\right)\)
\(=>\frac{1}{\left(x+y+z\right)}\ge\frac{3}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\)
\(=>A\ge\frac{3}{\left(xy+yz+zx\right)^2}-\frac{2}{xy+yz+zx}\)
đặt
\(\frac{1}{xy+yz+zx}=t\)
\(=>A\ge3t^2-2t\)
mà \(\left(3t-1\right)^2\ge0=>9t^2-6t+1\ge0=>3t^2-2t+\frac{1}{3}\ge0\Rightarrow3t^2-2t\ge-\frac{1}{3}\)
\(=>A\ge-\frac{1}{3}\)(dpcm)
Dấu = xảy ra khi x=y=z=1
tinh tuoi con gai bang 1/4 tuoi me , tuoi con bang 1/5 tuoi me . tuoi con gai cong voi tuoi cua con trai
la 18 tuoi . hoi me bao nhieu tuoi ?
\(\frac{1}{x+1}=\left(1-\frac{1}{y+1}\right)+\left(1-\frac{1}{z+1}\right)=\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\ge2\sqrt{\frac{yz}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}}\) (1)
Tương tự :
\(\frac{1}{y+1}\ge2\sqrt{\frac{xz}{\left(x+1\right)\left(z+1\right)}}\) (2)
\(\frac{1}{z+1}\ge2\sqrt{\frac{xy}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}}\) (3)
từ (1) (2) và (3) => \(\frac{1}{x+1}\cdot\frac{1}{y+1}\cdot\frac{1}{z+1}\ge8\sqrt{\frac{x^2y^2z^2}{\left[\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\right]^2}}\)
=> \(\frac{1}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\ge8\cdot\frac{xyz}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\)
=> \(1\ge8xyz\)
=> \(xyz\le\frac{1}{8}\)
Dấu '=' xảy ra khi x = y = z = 1/2
từ \(x+y+z=xyz\Rightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=1\)
\(\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\right)\rightarrow\left(a,b,c\right)\)\(\Rightarrow ab+bc+ca=1\)
Thay vào \(\sqrt{x^2+1}\) r` phân tích nhân tử áp dụng C-S là ra :3
Từ giả thiết:\(x+y+z=xyz\Leftrightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=1\)
Đặt \(\frac{1}{x}=a,\frac{1}{y}=b,\frac{1}{z}=c\)\(\Rightarrow ab+bc+ca=1\)
Ta có:\(\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^2}}\)\(=\sqrt{\frac{1}{1+x^2}}+\sqrt{\frac{1}{1+y^2}}+\sqrt{\frac{1}{1+z^2}}\)
\(=\sqrt{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}+x}}+\sqrt{\frac{\frac{1}{y}}{\frac{1}{y}+y}}+\sqrt{\frac{\frac{1}{z}}{\frac{1}{z}+z}}\)\(=\sqrt{\frac{a}{a+\frac{1}{a}}}+\sqrt{\frac{b}{b+\frac{1}{b}}}+\sqrt{\frac{c}{c+\frac{1}{c}}}\)
\(=\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+1}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+1}}\)
Đến đây:\(\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}=\frac{a}{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}=\frac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)
\(=\sqrt{\frac{a}{a+b}.\frac{a}{a+c}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}\right)\)
Tương tự:\(\frac{b}{\sqrt{b^2+1}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{b}{b+a}+\frac{b}{b+c}\right);\frac{c}{\sqrt{c^2+1}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{c}{c+a}+\frac{c}{c+b}\right)\)
Cộng 3 bất đẳng thức lại ta có điều phải chứng minh :))
Ko chịu tag@@
Ta có: \(xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\frac{1}{3}\) (1)
Và \(xyz\le\frac{\left(x+y+z\right)^3}{27}=\frac{1}{27}\) (cô si cho 3 số)
\(\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xyz}=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{3xy}+\frac{1}{3yz}+\frac{1}{3zx}+\frac{1}{xyz}-\frac{1}{3}\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)\)
\(\ge\frac{16}{\left(x+y+z\right)^2+\left(xy+yz+zx\right)}+\frac{1}{xyz}-\frac{1}{3}\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)\)
\(\ge\frac{16}{1+\frac{1}{3}}+\frac{3}{3xyz}-\frac{x+y+z}{3xyz}\) (sử dụng (1) và quy đồng mấy cái phía sau)
\(=12+\frac{3-\left(x+y+z\right)}{3xyz}=12+\frac{2}{3xyz}\)
\(\ge12+\frac{2}{3.\frac{1}{27}}=30^{\left(đpcm\right)}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Lê Thị Thục Hiền nốt câu ni Vũ Minh Tuấn @Nk>↑@
\(\frac{1}{x+1}=1-\frac{1}{y+1}+1-\frac{1}{z+1}=\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\ge2\sqrt{\frac{yz}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}}\)
Tương tự: \(\frac{1}{y+1}\ge2\sqrt{\frac{zx}{\left(z+1\right)\left(x+1\right)}}\) ; \(\frac{1}{z+1}\ge2\sqrt{\frac{xy}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}}\)
Nhân vế với vế:
\(\frac{1}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\ge\frac{8xyz}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\)
\(\Rightarrow xyz\le\frac{1}{8}\)
Đề bài ko đúng rồi