Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(M=\frac{yz}{x^2}+\frac{xz}{y^2}+\frac{xy}{z^2}=\frac{y^3z^3+x^3z^3+x^3y^3}{x^2y^2z^2}=\frac{\left(yz+xz\right)^3+x^3y^3-3xy^2z^3-3x^2yz^3}{x^2y^2z^2}\)
\(=\frac{\left(yz+xz+xy\right)\left[\left(yz+xz\right)^2+xy\left(yz+xz\right)+x^2y^2\right]-3xyz^2\left(xz+yz\right)}{x^2y^2z^2}\)
\(=\frac{0.\left[\left(yz+xz\right)^2+xy\left(yz+xz\right)+x^2y^2\right]-3xyz^2\left(xz+yz\right)}{x^2y^2z^2}\)
\(=\frac{-3xyz^2\left(xz+yz\right)}{x^2y^2z^2}=\frac{-3\left(xz+yz\right)}{xy}=\frac{-3.\left(-xy\right)}{xy}=3\)
Ta có:
\(xy+yz+xz=0\)
Chia cả hai vế của đẳng thức trên cho \(xyz\ne0\), ta được:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)
Nhận xét: Chú ý rằng nếu \(x+y+z=0\) \(\left(1\right)\) thì \(x^3+y^3+z^3=3xyz\) \(\left(\text{*}\right)\)
Thật vậy, từ \(\left(1\right)\) \(\Rightarrow\) \(z=-\left(x+y\right)\)
Do đó, \(x^3+y^3+z^3=x^3+y^3-\left(x+y\right)^3=-3x^2y-3xy^2=-3xy\left(x+y\right)=3xyz\)
Vậy, đẳng thức \(\left(\text{*}\right)\) được chứng minh.
Áp dụng nhận xét trên, ta có:
Nếu \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\) thì \(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}=3.\frac{1}{x}.\frac{1}{y}.\frac{1}{z}=\frac{3}{xyz}\)
Vậy, \(M=\frac{yz}{x^2}+\frac{xz}{y^2}+\frac{xy}{z^2}=\frac{xyz}{x^3}+\frac{xyz}{y^3}+\frac{xyz}{z^3}=xyz\left(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}\right)=xyz.\frac{3}{xyz}=3\) \(\left(x,y,z\ne0\right)\)
Bunhiacopxki: \(\left(x^2+yz+zx\right)\left(y^2+yz+zx\right)\ge\left(xy+yz+zx\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{xy}{x^2+yz+zx}\le\frac{xy\left(y^2+yz+zx\right)}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\)
Thiết lập tương tự và cộng lại:
\(\Rightarrow VT\le\frac{xy\left(y^2+yz+zx\right)+yz\left(z^2+xy+zx\right)+zx\left(x^2+yz+xy\right)}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\)
\(VT\le\frac{xy^3+xy^2z+x^2yz+yz^3+xy^2z+xyz^2+x^3z+xyz^2+x^2yz}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\)
Ta chỉ cần chứng minh: \(\frac{xy^3+xy^2z+x^2yz+yz^3+xy^2z+xyz^2+x^3z+xyz^2+x^2yz}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\le\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx}\)
\(\Leftrightarrow xy^3+xy^2z+x^2yz+yz^3+xy^2z+xyz^2+x^3z+xyz^2+x^2yz\le\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2yz+xy^2z+xyz^2\le x^3y+y^3z+z^3x\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{z}+\frac{y^2}{x}+\frac{z^2}{y}\ge x+y+z\) (đúng theo Cauchy-Schwarz)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
http://diendantoanhoc.net/topic/160455-%C4%91%E1%BB%81-to%C3%A1n-v%C3%B2ng-2-tuy%E1%BB%83n-sinh-10-chuy%C3%AAn-b%C3%ACnh-thu%E1%BA%ADn-2016-2017/
BĐT của bạn bị ngược dấu, mà có vẻ các mẫu số cũng ko đúng (để ý mẫu số thứ 2 và thứ 3 đều có chung xy+xz ko hợp lý)
làm tương tự bài này nha
x + y + z = 3. Tìm Max P = xy + yz + xz
Ta có: (x - y)² ≥ 0 <=> x² - 2xy + y² ≥ 0 <=> x² + y² ≥ 2xy
hay 2xy ≤ x² + y² , dấu " = " xảy ra <=> x = y
tương tự:
+) 2yz ≤ y² + z² +) 2xz ≤ x² + z²
cộng 3 vế của 3 bđt trên
--> 2xy + 2yz + 2xz ≤ 2(x² + y² + z²)
--> xy + yz + xz ≤ x² + y² + z²
--> xy + yz + xz + 2xy + 2yz + 2xz ≤ x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2xz
--> 3(xy + yz + xz) ≤ (x + y + z)²
--> 3(xy + yz + xz) ≤ 3²
--> xy + yz + xz ≤ 3
Theo đề ta có :
xy + yz + xz = 0
\(\Rightarrow xy=0-yz-xz=-\left(yz+xz\right)\) (1)
\(\Rightarrow yz=0-xz-xy=-\left(xz+xy\right)\)(2)
\(\Rightarrow xz=0-xy-yz=-\left(xy+yz\right)\)(3)
\(M=\frac{yz}{x^2}+\frac{xz}{y^2}+\frac{xy}{z^2}\)
Từ (1) ; (2) và (3) , ta có :
\(M=\frac{-\left(xy+xz\right)}{x^2}+\frac{-\left(xy+yz\right)}{y^2}+\frac{-\left(yz+xz\right)}{z^2}\)
\(M=\frac{-x\left(y+z\right)}{x^2}+\frac{-y\left(x+z\right)}{y^2}+\frac{-z\left(x+y\right)}{z^2}\)
\(M=\frac{-\left(y+z\right)}{x}+\frac{-\left(x+z\right)}{y}+\frac{-\left(x+y\right)}{z}\)
\(M-3=\left(\frac{-\left(y+z\right)}{x}-1\right)+\left(\frac{-\left(x+z\right)}{y}-1\right)+\left(\frac{-\left(x+y\right)}{z}-1\right)\)
\(M-3=\left(\frac{-y-z}{x}-\frac{x}{x}\right)+\left(\frac{-x-z}{y}-\frac{y}{y}\right)+\left(\frac{-x-y}{z}-\frac{z}{z}\right)\)
\(M-3=\left(\frac{-y-z-x}{x}\right)+\left(\frac{-x-z-y}{y}\right)+\left(\frac{-x-y-z}{z}\right)\)
\(M-3=\frac{-\left(y+z+x\right)}{x}+\frac{-\left(x+z+y\right)}{y}+\frac{-\left(x+y+z\right)}{z}\)
..............